Question

Докажите что равенство верно tg 20°+tg25°+tg20°+tg25°=1

Answer 1

Объяснение:

Для решения воспользуемся формулой тангенса суммы углов:

tg (a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b).

В нашем примере дана правая часть формулы.

Для нашего случая углы a = 20, b = 25.Тогда подставив эти значения в формулу, получим :

(tg 20 + tg 25) / (1 - tg 20 * tg 25) = tg (20 + 25) = tg 45 = 1.

Answer 2

Давайте докажем данное равенство по шагам:

1. Заметим, что угол 20° является смежным углом для угла 25° в треугольнике. То же самое справедливо и для угла 25° - он является смежным углом для угла 20°.

2. Воспользуемся тригонометрическим тождеством для суммы тангенсов смежных углов:

   $\tan(x + y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x) \cdot \tan(y)}$.

3. Применим это тождество дважды для пар углов (20°, 25°) и (25°, 20°):

   $\tan(20° + 25°) = \frac{\tan(20°) + \tan(25°)}{1 - \tan(20°) \cdot \tan(25°)}$,

   $\tan(25° + 20°) = \frac{\tan(25°) + \tan(20°)}{1 - \tan(25°) \cdot \tan(20°)}$.

4. Угол $20° + 25° = 45°$, поэтому $\tan(20° + 25°) = 1$.

5. Заметим, что $\tan(25°) = \frac{1}{\tan(65°)}$ и $\tan(20°) = \frac{1}{\tan(70°)}$ в связи с тем, что тангенс комплементарных углов взаимно обратны.

6. Подставим значения тангенсов обратных углов в уравнения из пункта 3:

   $1 = \frac{\frac{1}{\tan(70°)} + \frac{1}{\tan(65°)}}{1 - \frac{1}{\tan(70°)} \cdot \frac{1}{\tan(65°)}}$,

   $1 = \frac{\tan(65°) + \tan(70°)}{\tan(65°) \cdot \tan(70°) - 1}$.

7. Теперь давайте заметим, что $\tan(65°) \cdot \tan(70°)$ равно $\tan(65° + 70°) = \tan(135°)$, и так как $\tan(135°) = -1$, то знаменатель становится равным 0.

8. Уравнение принимает вид:

   $1 = \frac{\tan(65°) + \tan(70°)}{-1 - 1} = \frac{\tan(65°) + \tan(70°)}{-2}$,

   $-2 = \tan(65°) + \tan(70°)$.

9. Теперь вернемся к уравнению из пункта 3 для углов (25°, 20°):

   $1 = \frac{\tan(25°) + \tan(20°)}{1 - \tan(25°) \cdot \tan(20°)}$,

   $1 = \frac{\frac{1}{\tan(65°)} + \frac{1}{\tan(70°)}}{1 - \frac{1}{\tan(65°)} \cdot \frac{1}{\tan(70°)}}$,

   $1 = \frac{\tan(65°) + \tan(70°)}{\tan(65°) \cdot \tan(70°) - 1}$.

10. Так как в числителе и знаменателе этих двух уравнений стоят одни и те же выражения, они равны между собой:

$\tan(65°) + \tan(70°) = -2$,

$-2 = -2$.

Таким образом, мы показали, что верно равенство $\tan(20°) + \tan(25°) + \tan(20°) + \tan(25°) = 1$.