Question

40 баллов! Всем доброго дня! Помогите, пожалуйста! Главные мозги/знатоки/профессоры/ученые/модераторы/, все, кто может правильно, понятно и подробно решить!!! Всего одно тождество! Очень срочно!! (Если можете, то на бумаге, но вообще, как вам будет удобно!)Алгебра, 9 класс. (только не замудряйте, прошу, решите наиболее понятным способом)Докажите:sin4α + sin6α + sin14α + sin16α = 4sin10α × cos5α × cosα​

Answer 1

Ответ:

Доказать триг. тождество.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и попробуем его доказать:

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 4sin(10α) * cos(5α) * cos(α)

Для начала, воспользуемся формулой суммы синусов:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Применяем эту формулу к первым двум слагаемым:

sin(4α) + sin(6α) = 2sin((4α + 6α)/2) * cos((4α - 6α)/2) = 2sin(5α) * cos(-α) = 2sin(5α) * cos(α)

Аналогично для последних двух слагаемых:

sin(14α) + sin(16α) = 2sin((14α + 16α)/2) * cos((14α - 16α)/2) = 2sin(15α) * cos(-α) = 2sin(15α) * cos(α)

Теперь мы можем выразить исходное выражение через синусы углов 5α и 15α:

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 2sin(5α) * cos(α) + 2sin(15α) * cos(α)

Факторизуем общий множитель 2cos(α):

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 2cos(α) * (sin(5α) + sin(15α))

Теперь применим формулу суммы синусов к синусам углов 5α и 15α:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Применяем к sin(5α) + sin(15α):

sin(5α) + sin(15α) = 2sin((5α + 15α)/2) * cos((5α - 15α)/2) = 2sin(10α) * cos(-5α) = 2sin(10α) * cos(5α)

Теперь мы можем подставить полученное выражение обратно:

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 2cos(α) * (2sin(10α) * cos(5α))

Факторизуем общий множитель 2:

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 4sin(10α) * cos(5α) * cos(α)

Таким образом, мы доказали данное тождество:

sin(4α) + sin(6α) + sin(14α) + sin(16α) = 4sin(10α) * cos(5α) * cos(α)