Question

30 баллов. У рівнобедрений трикутник вписане коло, яке ділить бічну сторону пропорційну числам 5:4 рахуючи бід вершини протилежній основні. Знайдіть сторони цього трикутника якщо його периметр = 52 см.

Answer 1

Ответ:

5x+4x=180; 180÷9=20; 20×5=100; 20×4=200;

Answer 2

Позначимо сторону основи рівнобедреного трикутника через $x$. Оскільки вписане коло ділить бічну сторону так, що відношення довжин 5:4, ми можемо позначити довжину бічної сторони як $5k$ і $4k$, де $k$ - деякий коефіцієнт.

За теоремою про внутрішні та зовнішні кути вписаного та центрального кута відповідно, ми можемо сказати, що півсума основних кутів рівнобедреного трикутника дорівнює центральному куту вписаного кола, тобто $45^\circ$.

Отже, ми маємо наступні відношення між кутами рівнобедреного трикутника:

$\frac{x}{2k} = \tan 45^\circ = 1$ $x = 2k$

Підставляючи вираз для $x$ в рівняння периметру трикутника:

$P = x + 2(4k) = 52$

Підставляючи $x = 2k$:

$2k + 8k = 52$

$10k = 52$

$k = \frac{52}{10} = 5.2$

Тепер ми можемо знайти довжину бічної сторони трикутника:

$5k = 5 \cdot 5.2 = 26$

А також довжину основи:

$x = 2k = 2 \cdot 5.2 = 10.4$

Отже, рівнобедрений трикутник має бічну сторону довжиною 26 см і основу довжиною 10.4 см.