Question

Бісектриса зовнішнього кута при вершині В трикутника АВС перетинає промінь АС у точці Р. Доведіть, що АВ : ВС = АР : СР. Помогите пожалуйста.Срочно!!!!!!

Answer 1

Решение на картинке..

Answer 2

Для доведення співвідношення між сторонами та відповідними частинами бісектриси зовнішнього кута треугольника використаємо теорему бісектриси.

Теорема бісектриси стверджує, що бісектриса зовнішнього кута при вершині B трикутника ABC ділить протилежну сторону (AC) на відрізки, пропорційні іншим двом сторонам трикутника.

Ми маємо таку ситуацію:

1. Бісектриса зовнішнього кута при вершині B перетинає промінь AC в точці P.
2. Ми позначимо довжини сторін трикутника ABC так: AB = a, BC = b, AC = c.
3. Також позначимо відрізки, на які бісектриса AC ділить сторону AC, так: AP = x, PC = c - x.

Тепер ми можемо використовувати теорему бісектриси, щоб сформулювати співвідношення між сторонами та їх частинами:

$\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC}$

Підставимо вирази для відрізків AP, PC та сторін AB, BC:

$\frac{x}{c - x} = \frac{a}{b}$

Тепер ми хочемо довести, що $\frac{AB}{BC} = \frac{AR}{CR}$.

Ми знаємо, що AB:BC = AP:PC, тому ми можемо записати:

$\frac{a}{b} = \frac{x}{c - x}$

З цього ми можемо виразити x:

$x = \frac{ac}{a+b}$

Аналогічно можемо виразити c - x:

$c - x = \frac{bc}{a+b}$

Тепер давайте порівняємо співвідношення між сторонами та відрізками на бісектрисі та на промені, що проходить через точку P:

$\frac{AP}{PC} = \frac{AB}{BC}$ $\frac{AR}{CR} = \frac{AB}{BC}$

Враховуючи вирази, які ми виразили для x та c - x, ми можемо підставити їх в співвідношення:

$\frac{\frac{ac}{a+b}}{\frac{bc}{a+b}} = \frac{a}{b}$

Знаменники скасовуються:

$\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$

Ми бачимо, що це співвідношення є правильним, тому ми довели, що $\frac{AB}{BC} = \frac{AR}{CR}$.