Question

Запишите уравнение плоскости, если известно, что точка M0(−7,1,3) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. В ответ введите длину отрезка, отсекаемого найденной плоскостью от оси OY.

Answer 1

Если в пространстве задана точка Мо(хо, уо, zо), то уравнение плоскости, проходящей через точку Мo перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(x – xо) + B(y – yо) + C(z – zо) = 0.

Так как перпендикуляр, опущен из начала координат на эту плоскость, то нормальный вектор равен MО(−7; 1; 3).

Получаем уравнение -7(x + 7) + (y - 1) + 3)z - 3) = 0.

Раскроем скобки: -7x - 49 + y - 1 + 3z - 9 = 0

                               -7x + y + 3z  = 59 и разделим об части на 59.

(x/(-59/7))  + (y/59) + (z/(59/3)) = 1.    Это уравнение в "отрезках".

Ответ: длина отрезка, отсекаемого найденной плоскостью от оси OY, равна 59.

Answer 2

Пусть вектор $\mathbf{N} = (A, B, C)$ - нормальный вектор к плоскости, а $\mathbf{M}_0 = (-7, 1, 3)$ - точка на плоскости. Так как перпендикуляр опущенный из начала координат на плоскость, будет проходить через точку $\mathbf{M}_0$, то вектор $\mathbf{M}_0$ будет коллинеарен с вектором $\mathbf{N}$.

Таким образом, у нас есть:

$\mathbf{N} = \mathbf{M}_0 = (-7, 1, 3)$

Теперь мы знаем, что уравнение плоскости имеет вид:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Подставляя вектор $\mathbf{N}$, получим:

$-7x + y + 3z + D = 0$

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим точку $\mathbf{M}_0$ в уравнение:

$-7(-7) + 1(1) + 3(3) + D = 0$

$49 + 1 + 9 + D = 0$

$59 + D = 0$

$D = -59$

Итак, уравнение плоскости:

$-7x + y + 3z - 59 = 0$

Теперь найдем точку пересечения этой плоскости с осью $OY$. Для этого подставим $x = z = 0$ в уравнение плоскости:

$y - 59 = 0$

Отсюда получаем $y = 59$.

Таким образом, плоскость пересекает ось $OY$ в точке $(0, 59, 0)$. Длина отрезка, отсекаемого плоскостью от оси $OY$, равна $59$.