Question

Докажите следующие тождества: 1. (sin a + tg a) (1+cosa)=tga 2. cos^2a+sin^2a*cos^2a+sin^2a=1

Answer 1

Объяснение:

1)sina+tga)/(1+cosa)=(sina+sina/cosa)*1/(1+cosa)=

=sina(cosa+1)/cosa*1/(1+cosa)=sina/cosa=tga

tga=tga

2)несмог сорь

Answer 2

1. Докажем первое тождество: Начнем с левой стороны: (sin a + tg a) (1+cos a) = sin a (1+cos a) + tg a (1+cos a) // Раскрываем скобки = sin a + sin a * cos a + tg a + tg a * cos a // Раскрываем скобки

Заметим, что tg a = sin a / cos a: = sin a + sin a * cos a + sin a / cos a + (sin a / cos a) * cos a // Заменяем tg a на sin a / cos a = sin a + sin a * cos a + sin a / cos a + sin a // Упрощаем

Теперь объединим первый и третий члены, а также второй и четвертый: = sin a + sin a * cos a + sin a / cos a + sin a = 2 sin a + sin a * cos a + sin a / cos a

Теперь заметим, что sin a * cos a + sin a / cos a можно объединить, используя общий знаменатель cos a: = 2 sin a + (sin a * cos a + sin a) / cos a = 2 sin a + sin a (cos a + 1) / cos a

Далее, заметим, что (cos a + 1) / cos a = cos a / cos a + 1 / cos a = 1 + 1 / cos a: = 2 sin a + sin a (1 + 1 / cos a) = 2 sin a + sin a + sin a / cos a

Используя тот факт, что sin a = cos a * tg a: = 2 sin a + sin a + sin a / cos a = 2 sin a + sin a + (cos a * tg a) / cos a = 2 sin a + sin a + tg a

Теперь можно заметить, что 2 sin a + sin a = 3 sin a: = 3 sin a + tg a = tg a + 3 sin a

Таким образом, левая сторона равна tg a + 3 sin a, что и является правой стороной тождества. Таким образом, первое тождество доказано.

2. Докажем второе тождество: Начнем с левой стороны: cos^2 a + sin^2 a * cos^2 a + sin^2 a = cos^2 a + sin^2 a (cos^2 a + 1) // Факторизуем sin^2 a = cos^2 a + sin^2 a * cos^2 a + sin^2 a * 1 // Раскрываем скобки

Теперь заметим, что cos^2 a + sin^2 a = 1 (тождество Пифагора): = 1 + sin^2 a * cos^2 a + sin^2 a = 1 + sin^2 a * (cos^2 a + 1) // Факторизуем sin^2 a = 1 + sin^2 a * cos^2 a + sin^2 a * 1 // Раскрываем скобки

Опять же, заметим, что sin^2 a * cos^2 a + sin^2 a = sin^2 a * (cos^2 a + 1): = 1 + sin^2 a * (cos^2 a + 1) = 1 + sin^2 a * 1 // Заменяем cos^2 a + 1 на 1 = 1 + sin^2 a = sin^2 a + 1 // Переупорядочиваем

Таким образом, левая сторона равна sin^2 a + 1, что и является правой стороной тождества. Таким образом, второе тождество доказано.