Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 1] для функции: y= -x³+12x-5

Answer 1

Ответ:max y(x)=y(1)=6, min y(x)=y(-2)=-21

Объяснение: y' = (-x³+12x-5)' = -3x² +12x  ⇒если y'=0, то -3x² +12x =0  ⇒ -3х(х-4) =0 ⇒ -3х=0 или х -4 =0 ⇒ х₁=0, х₂=4 -критические точки. Но х=4 ∉[-2;1], поэтому найдём значения функции в критической точке х=0 и на концах отрезка [-2;1].                                                                                 у(0)= -0³+ 12·0 -5 = -5;                   у(-2) = - (-2)³ +12·(-2) -5 =8-24-5= -21         у(1) = -1³ +12·1+5= -1+12-5= 6. ⇒ max y(x)=y(1)=6, min y(x)=y(-2)=-21

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке, нужно найти критические точки (где производная равна нулю или не существует) и оценить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y = -x³ + 12x - 5: y' = -3x² + 12.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: -3x² + 12 = 0. x² = 4. x = ±2.

3. Теперь оценим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка:

• Для x = -2: y = -(-2)³ + 12*(-2) - 5 = -8 - 24 - 5 = -37.
• Для x = 1: y = -(1)³ + 12*(1) - 5 = -1 + 12 - 5 = 6.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно -37 и достигается при x = -2, а наибольшее значение равно 6 и достигается при x = 1.