Question

Визначте площу фігури обмеженої лініями y = 1-x^2 i y=0

Answer 1

График первой функции это парабола с вершиной в точке (1;0) и её ветви направлены вниз. Вторая функция это ось абсцисс. Найдём нули.

1-x² = 0  ⇔  |x|=1  ⇔  x=±1

$\displaystyle S=\int ^1_{-1}(1-x^2)\, dx=\bigg(x-\frac{x^3}3\bigg)\bigg| ^1_{-1}=\\\\=\bigg(1-\frac{1^3}3\bigg) -\bigg(-1-\frac{(-1)^3}3\bigg)=\\\\=\frac23 +\frac23=\frac43$

Ответ: 4/3.

Answer 2

Задані лінії y = 1 - x^2 та y = 0 обмежують певну область на площині. Ця область розташована між графіком функції y = 1 - x^2 та осью Ox (ось x). Щоб знайти площу цієї області, потрібно обчислити відповідний інтеграл.

Площа фігури між двома кривими $y = f(x)$ та $y = g(x)$ на інтервалі $[a, b]$ обчислюється за формулою:

$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$

У вашому випадку, $f(x) = 1 - x^2$, $g(x) = 0$, та інтервал $[-1, 1]$, оскільки це інтервал, де $y = 1 - x^2$ перетинається з віссю Ox.

Отже, ми повинні обчислити інтеграл:

$A = \int_{-1}^{1} |(1 - x^2) - 0| dx$

$A = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Розкриваємо вираз в інтегралі та обчислюємо:

$A = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left((-1) - \frac{(-1)^3}{3}\right)$

$A = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Отже, площа обмеженої фігури між лініями $y = 1 - x^2$ та $y = 0$ на інтервалі $[-1, 1]$ дорівнює $\frac{4}{3}$ одиницям квадратним.