Question

СРОЧНО АЛГЕБРА 10 КЛАСС!!!!!! дана функция у = 6х/( х^2+ 1 ) 1) Найдите промежутки возрастания и убывания 2) Точки экстремума 3) Наибол. и наимен.. значения функции на отрезке от -2 до 3

Answer 1

Ответ: во вложении

Объяснение: там же

Answer 2

Давайте рассмотрим данную функцию и поочередно решим каждый из пунктов:

Дана функция: $y = \frac{6x}{x^2 + 1}$

1. Промежутки возрастания и убывания:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания нужно найти производную функции и выяснить её знак на интервалах.

Сначала найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = \frac{6x}{x^2 + 1}$

Применим правило для производной частного функций:

$y' = \frac{(6x)'(x^2 + 1) - 6x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{6(x^2 + 1) - 6x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$y' = \frac{6 - 12x^2}{(x^2 + 1)^2}$

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

$6 - 12x^2 = 0$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь посмотрим на знак производной на разных интервалах:

• Если $x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает на этом интервале.
• Если $-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y' < 0$, следовательно, функция $y$ убывает на этом интервале.
• Если $x > \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y' > 0$, следовательно, функция $y$ возрастает на этом интервале.

2. Точки экстремума:

Точки экстремума соответствуют значениям $x$, где производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли, что производная равна нулю при $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь остается проверить, являются ли эти значения точками минимума или максимума.

Для этого можно построить вторую производную $y''$:

$y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{6 - 12x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)$

После вычислений можно получить:

$y'' = \frac{24x(3x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3}$

Подставляя значения $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

• При $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y'' = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$