Question

Є кусок дроту завдовжки 40 м. Треба обгородити ним прямокутну ділянку землі, одна сторона якої прилягає до стіни будинку. Знайдіть розміри ділянки, за яких її площа буде найбільшою.

Answer 1

Припустимо, що а, в – розміри ділянки.

Формули для периметра та площі прямокутника: Р = 2(a + в), S = а ∙ в. З іншої сторони Р = 40 м

2(а + в) = 40, а + в = 20

Нехай а = х, тоді в = 20 – х.

За змістом задачі число х задовольняє нерівність

0 < х < 20, тобто належить інтервалу (0; 20) .

Складаємо функцію:

S(x) = x(20 – x)

Функція S(x) неперервна на всій числовій прямій, тому будемо шукати її

найбільше і найменше значення на відрізку  [0;20] .

Знаходимо критичні точки:

S '(x) = 20 – 2x; 20 – 2x = 0, x = 10

10  Є [0;20]

S(10) = 100; S(0) = 0; S(20) = 0

Найбільшого значення на відрізку  [0;20] функція S набуває, якщо х = 10. Якщо

вона досягає найбільшого значення всередині відрізка  [0;20], то вона набуває  найбільшого значення і всередині інтервала (0, 20). Значить а = 10, тоді в = 20 – 10 = 10.

Отже, прямокутна ділянка буде мати найбільшу площу, якщо її розміри 10х10.

Відповідь: а = 10, в = 10

Answer 2

Щоб знайти розміри ділянки землі, за яких її площа буде найбільшою, ми повинні знайти оптимальні пропорції прямокутника.

Позначимо одну сторону прямокутника як x (ширина) і іншу сторону як y (довжина). За умовою задачі, сторона прямокутника x прилягає до стіни будинку.

Оскільки загальна довжина дроту складає 40 м, ми можемо записати наступне рівняння:

2x + y = 40

Щоб знайти розміри, які максимізують площу, потрібно знайти значення x і y, які задовольняють цьому рівнянню і максимізують функцію площі S = x * y.

Можна виразити y через x з рівняння 2x + y = 40:

y = 40 - 2x

Тепер можна підставити це значення y в функцію площі:

S = x * (40 - 2x)

S = 40x - 2x^2

Функцію площі S можна максимізувати, знайшовши максимум функції другого ступеня. Для цього потрібно взяти похідну функції S відносно x, прирівняти його до нуля і знайти значення x.

dS/dx = 40 - 4x

40 - 4x = 0

4x = 40

x = 10

Отже, значення x, яке максимізує площу, дорівнює 10 метрам.

Підставляючи це значення x у рівняння 2x + y = 40, ми можемо знайти значення y:

2(10) + y = 40

20 + y = 40

y = 20

Отже, значення y, яке відповідає максимальній площі, дорівнює 20 метрам.

Отримали, що розміри ділянки землі, які максимізують її площу, складають 10 метрів на 20 метрів.