Question

Пожалуйста, помогите решить уравнение (подробно) 2sin(π - x) = cos (x - π/2) + 3sin(x - 3π/2)

Answer 1

Для начала немного преобразуем уравнение:
2sin(pi-x)-cos(pi/2-x)+3sin(3pi/2-x)=0
Теперь по формулам приведения:
2sinx-sinx-3cosx=0
Получаем:
sinx-3cosx=0
Теперь, исходя из основного тригонометрического тождества, разделим на cosx, который не равен нулю:
tgx-3=0, откуда получаем
x=arctg3+pi*k, где k принадлежит множеству целых чисел

Answer 2

Конечно, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас дано уравнение: $2\sin(\pi - x) = \cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\sin(x - \frac{3\pi}{2}).$

Давайте начнем с упрощения правой части уравнения. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для синуса и косинуса:

1. $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$
2. $\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin\theta$
3. $\sin(\theta - \frac{3\pi}{2}) = -\cos\theta$

Подставляя эти тождества в уравнение, получим:

$2\sin(\pi - x) = \sin(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) - 3\cos(x).$

Теперь у нас есть следующее уравнение:

$\sin(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) - 3\cos(x).$

Давайте теперь попробуем выразить $\sin(x)$ через $\cos(x)$. Для этого воспользуемся тождеством $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x).$

Теперь подставим это в уравнение:

$\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} = \sqrt{1 - \sin^2(x - \frac{\pi}{2}) + 9\cos^2(x)}.$

Возводя обе стороны уравнения в квадрат, получаем:

$\sin^2(x) = 1 - \sin^2(x - \frac{\pi}{2}) + 9\cos^2(x).$

Теперь можем выразить $\sin^2(x - \frac{\pi}{2})$ через $\sin^2(x)$, используя тригонометрическое тождество $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\theta)$:

$\sin^2(x - \frac{\pi}{2}) = \cos^2(x).$

Подставляем это в уравнение:

$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) + 9\cos^2(x).$

Теперь объединяем косинусы и упрощаем:

$\sin^2(x) = 1 + 8\cos^2(x).$

Изначально мы имеем уравнение синуса и косинуса. Теперь мы свели его к уравнению только синуса. Давайте решим это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$:

$\sin^2(x) = 1 + 8\cos^2(x).$

Переносим все на одну сторону:

$\sin^2(x) - 8\cos^2(x) - 1 = 0.$

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\sin^2(x) - 8(1 - \sin^2(x)) - 1 = 0.$

Раскроем скобки и упростим:

$\sin^2(x) - 8 + 8\sin^2(x) - 1 = 0.$

Собираем все члены вместе:

$9\sin^2(x) - 9 = 0.$

Делим обе стороны на 9:

$\sin^2(x) - 1 = 0.$

Теперь добавляем 1 к обеим сторонам:

$\sin^2(x) = 1.$

Извлекаем квадратный корень:

$\sin(x) = \pm 1.$

Теперь мы имеем два уравнения для $\sin(x)$:

1. $\sin(x) = 1$
2. $\sin(x) = -1$

Решим каждое из них отдельно:

1. $\sin(x) = 1$ имеет решение при $x = \frac{\pi}{2}$.
2. $\sin(x) = -1$ не имеет решений в диапазоне $[0, 2\pi)$.

Таким образом, уравнение $2\sin(\pi - x) = \cos(x - \frac{\pi}{2}) + 3\sin(x - \frac{3\pi}{2})$ имеет одно решение: $x = \frac{\pi}{2}$.