Question

4. Докажите, что при любом нечетном m значение многочлена m³-m делится на 24.

Answer 1

$m^3-m=m(m^2-1)=m(m-1)(m+1)=(m-1)\cdot m\cdot(m+1)$

Многочлен представляет собой произведение трех подряд идущих чисел. Из трех подряд идущих чисел одно кратно 3.

Так как $m$ нечетное, то $m-1$ и $m+1$ - два подряд идущих четных числа. Из двух подряд идущих четных чисел одно кратно 4.

Итого, в произведении есть множитель 3, а также множители 4 и 2. Значит, все произведение делится на $3\cdot2\cdot4=24$.

Answer 2

Для доказательства того, что при любом нечетном m значение многочлена m³-m делится на 24, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции Проверим, что утверждение выполняется для m = 1. Подставим m = 1 в многочлен m³-m: 1³ - 1 = 1 - 1 = 0 0 делится на 24, поскольку 0 является кратным любого числа. Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение выполняется для некоторого нечетного числа k, т.е. многочлен k³-k делится на 24.

Шаг 3: Доказательство для (k + 2) Теперь мы должны доказать, что утверждение выполняется для (k + 2). Подставим m = (k + 2) в многочлен (k + 2)³ - (k + 2): (k + 2)³ - (k + 2) = (k + 2)(k + 2)(k + 2) - (k + 2) = (k + 2)(k² + 4k + 4) - (k + 2) = (k + 2)(k² + 4k + 4 - 1) = (k + 2)(k² + 4k + 3)

Обратим внимание, что выражение (k² + 4k + 3) представляет собой произведение двух последовательных чисел. Для любых двух последовательных чисел одно из них является четным, а другое нечетным.

Таким образом, мы имеем два случая:

1. Если (k + 2) - нечетное число, тогда k - четное число. В этом случае (k + 2) делится на 2, а (k² + 4k + 3) делится на (k + 1), поскольку это два последовательных числа. Следовательно, (k + 2)(k² + 4k + 3) делится на 2 * (k + 1), что также делится на 24.

2. Если (k + 2) - четное число, тогда k - нечетное число. В этом случае (k + 2) делится на (k + 1), а (k² + 4k + 3) делится на 2, поскольку это два последовательных числа. Следовательно, (k + 2)(k² + 4k + 3) делится на (k + 1) * 2, что также делится на 24.

Таким образом, в обоих случаях (k + 2)(k² + 4k + 3) делится на 24.

Шаг 4: Заключение Исходя из базы индукции и предположения индукции, мы доказали, что при любом нечетном m значение многочлена m³-m делится на 24.