Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції на проміжку: f(x)=x²-3x/x+1 [0;2]

Answer 1

Відповідь:

На фото внизу

Пояснення:

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ на проміжку $[0, 2]$, спершу знайдемо похідну функції і визначимо її точки екстремуму. Далі перевіримо значення функції в цих точках та на границях проміжку, щоб знайти найбільше і найменше значення.

1. Знайдемо похідну $f'(x)$ функції $f(x)$: $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ $f'(x) = \frac{(x + 1)(2x - 3) - (x^2 - 3x)(1)}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{2x^2 - 3x + 2x - 3 - x^2 + 3x}{(x + 1)^2}$ $f'(x) = \frac{x^2 - 3}{(x + 1)^2}$

2. Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю або не існує (де знаменник дорівнює нулю): $x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 3$ $x = \pm\sqrt{3}$

Таким чином, точки, де похідна дорівнює нулю, це $x = -\sqrt{3}$ та $x = \sqrt{3}$.

3. Тепер перевіримо значення функції в точках $x = -\sqrt{3}$, $x = \sqrt{3}$, $x = 0$ та $x = 2$ (границі проміжку):

Для $x = -\sqrt{3}$: $f(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3})^2 - 3(-\sqrt{3})}{-\sqrt{3} + 1} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{-\sqrt{3} + 1} = \frac{6\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \approx -8.66$

Для $x = \sqrt{3}$: $f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^2 - 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1} \approx -0.46$