Question

Докажите тождество sin(a)+sin(3a)+sin(5a)/cos(a)+cos(3a)+cos(5a)=tg(3a)

Answer 1

Ответ:

Докажите триг. тождество.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся формулой сложения синусов и косинусов, а также тригонометрической формулой для тангенса двойного угла.

Начнем с вычисления числителя и знаменателя в левой части тождества:

Числитель: sin(a) + sin(3a) + sin(5a) = 2sin(3a)cos(2a) + sin(3a) = sin(3a)(2cos(2a) + 1).

Знаменатель: cos(a) + cos(3a) + cos(5a) = 2cos(3a)cos(2a) + cos(3a) = cos(3a)(2cos(2a) + 1).

Подставим выражения числителя и знаменателя обратно в исходное выражение:

(sin(a) + sin(3a) + sin(5a)) / (cos(a) + cos(3a) + cos(5a)) = (sin(3a)(2cos(2a) + 1)) / (cos(3a)(2cos(2a) + 1)).

Заметим, что (2cos(2a) + 1) / (2cos(2a) + 1) = 1, следовательно, можно сократить этот множитель:

(sin(3a)(2cos(2a) + 1)) / (cos(3a)(2cos(2a) + 1)) = sin(3a) / cos(3a).

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для тангенса двойного угла:

tg(2x) = (2tg(x)) / (1 - tg^2(x)).

Подставим x = 3a:

tg(6a) = (2tg(3a)) / (1 - tg^2(3a)).

Распишем tg(6a) через tg(3a):

tg(6a) = (3tg(3a) - 3tg^3(3a)) / (1 - 3tg^2(3a)).

Теперь выразим tg^3(3a) через tg(3a):

tg^3(3a) = (tg(3a))^3 = (tg(3a))(tg^2(3a)) = (tg(3a))(1 - sec^2(3a)) = tg(3a) - tg(3a)sec^2(3a).

Подставим это обратно в выражение для tg(6a):

tg(6a) = (3tg(3a) - 3(tg(3a) - tg(3a)sec^2(3a))) / (1 - 3tg^2(3a)).

Упростим числитель:

tg(6a) = (3tg(3a) - 3tg(3a) + 3tg(3a)sec^2(3a)) / (1 - 3tg^2(3a)) = 3tg(3a)sec^2(3a) / (1 - 3tg^2(3a)).

Разделим числитель и знаменатель на 3:

tg(6a) = tg(3a)sec^2(3a) / (1 - tg^2(3a)).

Заметим, что это выражение совпадает с нашим исходным выражением для левой части тождества:

tg(6a) = (2tg(3a)) / (1 - tg^2(3a)) = (sin(3a) + sin(5a) + sin(7a)) / (cos(3a) + cos(5a) + cos(7a)).

Таким образом, мы доказали данное тождество:

(sin(a) + sin(3a) + sin(5a)) / (cos(a) + cos(3a) + cos(5a)) = tg(3a).