Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. у = х^4 – 8х^3 +10х^2 + 1 на [-1; 7];

Answer 1

1)y = x⁴-8x³+10x²+1, [-1; 7]

y' = 4x³-24x²+20x

2)4x³-24x²+20x = 0

4x(x²-6x+5) = 0

4x(x²-5x-x+5) = 0

4x(x(x-5)-(x-5)) = 0

4x(x-5)(x-1) = 0

x = 0; 1; 5

3)f(-1) = 1+8+10+1 = 20

f(0) = 1

f(1) = 1-8+10+1 = 4

f(5) = 5⁴-8•5³+10•5²+1 = 5²(5²-8•5+10)+1 = 25(25-40+10)+1 = -125+1 = -124, min

f(7) = 7⁴-8•7³+10•7²+1 = 7²(7²-8•7+10)+1 = 49(49-56+10)+1 = 147, max

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^4 - 8x^3 + 10x^2 + 1$ на заданном отрезке $[-1, 7]$, нужно проанализировать экстремумы функции на этом интервале, а также значения функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: $y' = 4x^3 - 24x^2 + 20x$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек (где производная обращается в ноль): $4x^3 - 24x^2 + 20x = 0$ $4x(x^2 - 6x + 5) = 0$ $x(x - 1)(x - 5) = 0$

Критические точки: $x = 0$, $x = 1$, $x = 5$.

3. Теперь найдем значения функции на этих критических точках и на концах интервала:

• $y(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^3 + 10(-1)^2 + 1 = 20$
• $y(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^3 + 10 \cdot 0^2 + 1 = 1$
• $y(1) = 1^4 - 8 \cdot 1^3 + 10 \cdot 1^2 + 1 = 4$
• $y(5) = 5^4 - 8 \cdot 5^3 + 10 \cdot 5^2 + 1 = 126$
• $y(7) = 7^4 - 8 \cdot 7^3 + 10 \cdot 7^2 + 1 = 1050$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале $[-1, 7]$ равно 1, и оно достигается при $x = 0$, а наибольшее значение равно 1050 и достигается при $x = 7$.