Question

СРОЧНО 30 БАЛОВ Решите уравнения введением новой переменной: х+√х-12=0

Answer 1

Замена: √х=t

Тогда:

t²+t-12=0

t=-4, t=3

Возвращаюсь к замене:

√х=-4, √х=3

√х=-4 - не решение, подкоренное выражение всегда больше или равно нулю.

√х=3

х=9

Ответ: х=9.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение с помощью введения новой переменной. Пусть новая переменная будет $y = \sqrt{x}$. Тогда у нас есть следующее соотношение:

$y = \sqrt{x}$

Теперь мы можем выразить $x$ через $y$:

$x = y^2$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$y + \sqrt{y} - 12 = 0$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $y$:

$y + \sqrt{y} - 12 = 0$

Давайте представим $\sqrt{y}$ как $y^{0.5}$:

$y + y^{0.5} - 12 = 0$

Теперь давайте перенесём все члены уравнения на одну сторону:

$y + y^{0.5} = 12$

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(y + y^{0.5})^2 = 12^2$

$y^2 + 2yy^{0.5} + y = 144$

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его:

$y^2 + 2yy^{0.5} + y - 144 = 0$

Пусть $u = y^{0.5}$, тогда $u^2 = y$. Подставим это обратно в уравнение:

$u^4 + 2u^3 + u^2 - 144 = 0$

Это уже квадратное уравнение относительно $u$. Выразим $u^2$ через $u$:

$u^4 + 2u^3 + u^2 - 144 = 0$ $u^2(u^2 + 2u + 1) - 144 = 0$ $u^2(u + 1)^2 - 144 = 0$ $(u^2 - 12)(u^2 + 12) = 0$

Теперь решим два квадратных уравнения:

1. $u^2 - 12 = 0$ -> $u^2 = 12$ -> $u = \pm \sqrt{12}$
2. $u^2 + 12 = 0$ - нет решений, так как невозможно получить отрицательное значение для суммы квадратов.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$ (помним, что $u = \sqrt{y}$):

1. $u = \sqrt{12}$, следовательно, $y = 12$.
2. $u = -\sqrt{12}$ - нет решений, так как невозможно получить отрицательное значение для корня.

Теперь найдем соответствующие значения для $x$ (помним, что $x = y^2$):

1. $y = 12$, следовательно, $x = 12^2 = 144$.

Итак, уравнение $x + \sqrt{x} - 12 = 0$ имеет одно решение: $x = 144$