Question

При яких значеннях a область визначення функції y = √x*2-ax+9 є всі дійсні числа​

Answer 1

Поскольку выражение под корнем должно быть неотрицательным, область определения - те иксы, при которых

$x^2-ax+9\geq 0$

Если это неравенство выполняется при всех $x$, то областью определения функции будет любое число.

Графиком функции в левой части является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола может пересечь ось $x$ не более чем в двух точках. Чтобы неравенство было верным для всех $x$ необходимо, чтобы эта парабола имела не более 1 точки пересечения с осью $x$ - т.е. либо одну, либо их вообще не должно быть. Ровно одна точка пересечения будет только в том случае, если уравнения $x^2-ax+9=0$ имеет одно решение (это возможно при $D=0$). Точек пересечения не будет вообще только в том случае, если уравнение $x^2-ax+9=0$ не имеет решений (это возможно при $D$). Оба условия нужно объединить: неравенство будет выполнено всегда, если $D\leq 0$.

Ищем дискриминант:

$D=(-a)^2-4\cdot 1\cdot 9=a^2-36\leq 0\\\\a^2-6^2\leq 0\\\\(a-6)(a+6)\leq 0\\\\-6\leq a\leq 6$

ОТВЕТ: при $a\in[-6;6]$

Answer 2

Для того щоб область визначення функції y = √(x^2 - ax + 9) включала всі дійсні числа, необхідно, щоб підкореневий вираз x^2 - ax + 9 був не менше нуля для будь-якого значення x.

Підкореневий вираз x^2 - ax + 9 має бути не менше нуля, тобто:

x^2 - ax + 9 ≥ 0

Ця нерівність буде справедливою для всіх дійсних значень x, якщо дискримінант квадратного трьохчлена не буде від'ємним:

D = a^2 - 4ac ≥ 0

У даному випадку a = 1, b = -a, c = 9. Підставимо ці значення у нерівність для дискримінанта:

D = (-a)^2 - 4 * 1 * 9 = a^2 - 36

Тепер розв'яжемо нерівність a^2 - 36 ≥ 0:

a^2 - 36 ≥ 0 (a - 6)(a + 6) ≥ 0

Для того, щоб ця нерівність була справедливою, потрібно, щоб або обидва множники були додатніми, або обидва множники були від'ємними:

1. a - 6 ≥ 0 і a + 6 ≥ 0: це означає, що a ≥ 6 і a ≥ -6. Тобто, a повинно бути не менше 6.

2. a - 6 ≤ 0 і a + 6 ≤ 0: це означає, що a ≤ 6 і a ≤ -6. Тобто, a повинно бути не більше -6.

Отже, область визначення функції y = √(x^2 - ax + 9), при якій функція приймає всі дійсні значення, це: a ∈ (-∞, -6] ∪ [6, +∞).

Це означає, що a повинно бути або менше -6, або більше 6.