Question

(x+5)⁴-6(x+5)²+7=0 как решить?

Answer 1

Ответ:

$-\sqrt{3+\sqrt{2}}-5; -\sqrt{3-\sqrt{2}}-5;\sqrt{3-\sqrt{2}}-5;\sqrt{3+\sqrt{2}}-5$

Объяснение:

$(x+5)^4-6(x+5)^2+7=0$

Заменим $(x+5)^2$ на $t$.

$t^2-6t+7=0$

Решаем квадратичное уравнение для $t$:

$D = (-6)^2-4*1*7=36-28=8\\t_1=\frac{6+\sqrt{8}}{2}=\frac{6+2\sqrt{2}}{2}=3+\sqrt{2}\\t_2=\frac{6-\sqrt{8}}{2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2}$

Подставляем $(x+5)^2$ для $t_1$ и решаем:

$(x+5)^2=3+\sqrt{2}\\x^2+25+10x=3+\sqrt{2}\\x^2+10x+25-3-\sqrt{2}=0\\x^2+10x+22-\sqrt{2}=0\\D=10^2-4*1*(22-\sqrt{2})=100-88+4\sqrt{2}=12+4\sqrt{2}=4(3+\sqrt{2})\\x_1=\frac{-10+\sqrt{4(3+\sqrt{2})}}{2}=\frac{-10+2\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{3+\sqrt{2}}-5\\x_2=\frac{-10-\sqrt{4(3+\sqrt{2})}}{2}=\frac{-10-2\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2}=-\sqrt{3+\sqrt{2}}-5$

Подставляем $(x+5)^2$ для $t_2$ и решаем:

$(x+5)^2=3-\sqrt{2}\\x^2+25+10x=3-\sqrt{2}\\x^2+10x+25-3+\sqrt{2}=0\\x^2+10x+22+\sqrt{2}=0\\D=10^2-4*1*(22+\sqrt{2})=100-88-4\sqrt{2}=12-4\sqrt{2}=4(3-\sqrt{2})\\x_1=\frac{-10+\sqrt{4(3-\sqrt{2})}}{2}=\frac{-10+2\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{3-\sqrt{2}}-5\\x_2=\frac{-10-\sqrt{4(3-\sqrt{2})}}{2}=\frac{-10-2\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}=-\sqrt{3-\sqrt{2}}-5$

Answer 2

Это квадратное уравнение относительно переменной $x+5$, поэтому мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы сделать решение более простым.

Обозначим $y = x + 5$, тогда уравнение примет вид:

$y^4 - 6y^2 + 7 = 0$

Теперь это уравнение квадратное относительно переменной $y^2$:

$y^4 - 6y^2 + 7 = (y^2 - 7)(y^2 - 1) = 0$

Это уравнение можно решить факторизацией:

1. $y^2 - 7 = 0$: $y^2 = 7$, отсюда $y = \pm \sqrt{7}$.
2. $y^2 - 1 = 0$: $y^2 = 1$, отсюда $y = \pm 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $y = \sqrt{7}$ соответствует $x + 5 = \sqrt{7}$, следовательно $x = \sqrt{7} - 5$ или $x \approx -0.646$.
2. $y = -\sqrt{7}$ соответствует $x + 5 = -\sqrt{7}$, следовательно $x = -\sqrt{7} - 5$ или $x \approx -9.646$.
3. $y = 1$ соответствует $x + 5 = 1$, следовательно $x = -4$.
4. $y = -1$ соответствует $x + 5 = -1$, следовательно $x = -6$.

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: $x \approx -0.646$, $x \approx -9.646$, $x = -4$ и $x = -6$.