Question

Обчислити за методом підстановки:а) ∫ 2 "в степени3x+2" dx ; б) ∫ (сosx - 1) sin xdx

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ \int 2^{3x+2}\ dx=\Big[\ t=3x+2\ ,\ dt=3dx\ ,\ dx=\dfrac{dt}{3}\ \Big]=\dfrac{1}{3}\int 2^{t}\, dt=\\\\\\=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2^{t}}{ln2}+C=\dfrac{2^{3x+2}}{3\cdot ln2}+C$

$b)\ \ \int (cosx-1)\cdot sinx\, dx=\Big[\ t=cosx-1\ ,\ dt=-sinx\, dx\ ,\ sinx\, dx=-dt\ \Big]=\\\\\\=-\int t\, dt=-\dfrac{t^2}{2}+C=-\dfrac{(cosx-1)^2}{2}+C$

Answer 2

Звісно, я можу вам допомогти обчислити ці інтеграли методом підстановки.

а) ∫ 2^(3x+2) dx:

Спочатку проведемо підстановку: позначимо $u = 3x + 2$. Тоді $du/dx = 3$, або $dx = du/3$. Підставимо це у вираз:

∫ 2^(3x+2) dx = ∫ 2^u (du/3)

Зараз ми можемо витягнути константу $1/3$ за знак інтегралу:

(1/3) ∫ 2^u du

Тепер інтегруємо цей вираз по $u$:

(1/3) * (2^u / ln(2)) + C,

де $C$ - це константа інтегрування.

Замінюємо назад $u = 3x + 2$:

(1/3) * (2^(3x+2) / ln(2)) + C.

б) ∫ (cos(x) - 1) * sin(x) dx:

Проведемо підстановку: $u = cos(x)$, тоді $du/dx = -sin(x)$ або $dx = -du/sin(x)$.

Підставимо це у вираз:

∫ (cos(x) - 1) * sin(x) dx = ∫ (u - 1) * (-du/sin(x))

Змінимо межі інтегрування, враховуючи, що $u = cos(x)$:

∫ (u - 1) * (-du/u) = -∫ (1 - u)/u du

Тепер інтегруємо цей вираз по $u$:

-∫ (1 - u)/u du = -∫ (1/u - 1) du = -ln|u| - u + C,

де $C$ - це константа інтегрування.

Замінюємо назад $u = cos(x)$:

-ln|cos(x)| - cos(x) + C.

Будь ласка, зверніть увагу, що в деяких випадках модуль може змінювати знак, тому пишеться два відокремлені результати інтегрування для позитивного та негативного значень $cos(x)$.