Question

Дана функция y = 4x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 7.

Answer 1

Так как существует конечный предел

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} = k\]$

То график функции $f(x)=4x^3$ имеет касательную в точке $(x_0,f(x_0))$.

Запишем уравнение касательной в общем виде

$\[Y = k(X - x_o ) + f(x_0 )\]$

Где $k$ - угловой коэффициент касательной. Очевидно, что равен производной функции $> (геометрический смысл производной).</p> <p>Найдем производную это функции с помощью определения</p> <p><img src=$

Производная в точке x0, равна

$\[f'(x_0 ) = 12 \cdot 7^2 = 588\]$

Вычислим значение функции в точке x0=7

$\[f(x_0 ) = 4 \cdot 7^3 = 1372\]$

Тогда уравнение касательной имеет вид

$\[Y = 588\left[ {X - 7} \right] + 1372 = 588X - 2744\]$

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 4x^3 в точке x0 = 7, нужно найти значение производной функции в этой точке.

Для функции y = 4x^3 её производная равна y' = 12x^2.

Для найти значение производной в точке x0 = 7, подставим x0 в выражение для производной:

y'(7) = 12(7)^2 = 12 * 49 = 588.

Таким образом, значение производной в точке x0 = 7 равно 588.

Уравнение касательной к графику функции y = 4x^3 в точке x0 = 7 имеет вид:

y - y0 = y'(x0) * (x - x0),

где y0 - значение функции в точке x0.

Подставим значения:

y - y0 = 588 * (x - 7).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 4x^3 в точке x0 = 7 имеет вид:

y - y0 = 588x - 4116.