Question

Найдите область определения функций А) f(x) = 3/(x^2-4) Б) f(x) = sqrt(-x)/(3x^2-6) Sqrt - Корень.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

А) f(x) = 3/(x^2-4)

x²-4≠0

(x-2)(x+2)≠0

x≠ 2 ; -2 иначе x≠±2

x∈(-∞;-2)∨(-2;2)∨(2;+∞)

B) f(x) = sqrt(-x)/(3x^2-6) - измененное :  (√-x)/(3x²-6)

{-x≥0         {- система

{3x²-6≠0

{x≤0

{3(x²-2)≠0

{x≤0        ⇒     {x≤0                       ⇒{ x≤0

{x²-2≠0            {(x-√2)(x+√2)≠0        {x≠ √2 ; -√2 иначе x≠±√2

x∈(-∞;-√2)∪(-√2;0]

Answer 2

Чтобы найти область определения данных функций, нужно определить значения переменной $x$, для которых функции определены и не вызывают деление на ноль или извлечение комплексного корня из отрицательного числа.

А) $f(x) = \frac{3}{x^2 - 4}$

Для данной функции область определения будет такой, что знаменатель $x^2 - 4$ не равен нулю (чтобы избежать деления на ноль) и не может быть отрицательным (чтобы избежать извлечения комплексного корня). Заметим, что $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$. Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = -2$ и $x = 2$, и он отрицателен в интервалах $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$.

Область определения функции $f(x)$ будет: $D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty).$

Б) $f(x) = \frac{\sqrt{-x}}{3x^2 - 6}$

Для этой функции нужно, чтобы корень $\sqrt{-x}$ был определен и знаменатель $3x^2 - 6$ не равен нулю.

Корень $\sqrt{-x}$ определен, когда $-x \geq 0$, что эквивалентно $x \leq 0$.

Знаменатель $3x^2 - 6$ не должен быть равен нулю, то есть: $3x^2 - 6 \neq 0.$ Решим это уравнение: $3x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}.$

Итак, знаменатель равен нулю при $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$.

Область определения функции $f(x)$ будет пересечением области определения корня $\sqrt{-x}$ ($x \leq 0$) и интервала, исключая точки $x = -\sqrt{2}$ и $x = \sqrt{2}$: $D_f = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}, 0).$