Question

Решить уравнение: sin2x=√2|cosx|

Answer 1

$\sin2x=\sqrt{2} |\cos x|$

1. Раскроем модуль при условии $\cos x\geq 0$:

$\sin2x=\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x-\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x-\sqrt{2}) =0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x-\sqrt{2} =0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ \sin x=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ \left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array}\end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

2. Раскроем модуль при условии $\cos x$:

$\sin2x=-\sqrt{2} \cdot\cos x$

$2\sin x\cos x+\sqrt{2} \cdot\cos x=0$

$\cos x(2\sin x+\sqrt{2} )=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=0\\ 2\sin x+\sqrt{2} =0\end{array}$

Заметим, что первое уравнение не удовлетворят условию раскрытия модуля. Продолжаем решать только второе уравнение:

$\sin x=-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$\left[\begin{array}{l} x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n \\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Однако корни $x=-\dfrac{\pi }{4}+2\pi n$ не удовлетворяют условию раскрытия модуля. Поэтому окончательный ответ этого случая:

$x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n$

3. Объединим решения, полученные в предыдущих пунктах:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+2\pi n\\ x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Или более кратко:

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\x=\dfrac{\pi }{4}+\pi n \end{array},\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \dfrac{\pi }{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(2x) = √2 |cos(x)| на интервале [0, 2π], так как оно содержит тригонометрические функции.

1. Рассмотрим сначала случай, когда cos(x) ≥ 0 (на интервале [0, π/2] и [3π/2, 2π]):

   Так как |cos(x)| = cos(x), уравнение преобразуется в sin(2x) = √2 cos(x).

   Используем тригонометрическое тождество: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

   Подставляем это в уравнение: 2sin(x)cos(x) = √2 cos(x).

   Если cos(x) ≠ 0, то делим обе стороны на cos(x): 2sin(x) = √2.

   Отсюда получаем sin(x) = √2 / 2.

   Решение этого уравнения на интервале [0, 2π]: x = π/4, 3π/4.

2. Теперь рассмотрим случай, когда cos(x) < 0 (на интервале [π/2, 3π/2]):

   Так как |cos(x)| = -cos(x), уравнение преобразуется в sin(2x) = -√2 cos(x).

   Используем опять тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

   Подставляем это в уравнение: 2sin(x)cos(x) = -√2 cos(x).

   Если cos(x) ≠ 0, то делим обе стороны на -cos(x): 2sin(x) = √2.

   Это уравнение не имеет решений на интервале [π/2, 3π/2].

Итак, решения уравнения sin(2x) = √2 |cos(x)| на интервале [0, 2π] это x = π/4 и x = 3π/4.