Question

Sin(4x)-3cos(4x)=8sin^2(2x) Решите пожалуйста, буду благодарен)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$sin4x-3cos4x=8sin^22x\\sin4x-3cos4x=4-4cos4x\\sin4x+cos4x=4\\\sqrt{2}\left(sin4xcos\dfrac{\pi}{4}+sin\dfrac{\pi}{4}cos4x\right)=4\\\sqrt{2}sin\left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)=4\\sin\left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}$

Т.к. $-1\le sin\left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)\le 1$, то равенство всегда ложно.

Поэтому уравнение не имеет корней.

Уравнение решено!

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Первым шагом давайте перепишем уравнение, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, поэтому можем выразить $\cos^2(x)$ через $\sin^2(x)$:

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Подставим это выражение в уравнение:

$\sin(4x) - 3(1 - \sin^2(4x)) = 8\sin^2(2x)$

Раскроем скобки:

$\sin(4x) - 3 + 3\sin^2(4x) = 8\sin^2(2x)$

Теперь используем тригонометрическую тождество $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ для $\sin^2(2x)$:

$\sin^2(2x) = \left( \frac{\sin(4x)}{2} \right)^2 = \frac{\sin^2(4x)}{4}$

Подставим это в уравнение:

$\sin(4x) - 3 + 3\sin^2(4x) = 8 \cdot \frac{\sin^2(4x)}{4}$

Упростим уравнение:

$\sin(4x) - 3 + 3\sin^2(4x) = 2\sin^2(4x)$

$\sin(4x) + \sin^2(4x) = 3$

Теперь у нас есть уравнение с одной тригонометрической функцией. Однако оно может оказаться нелинейным и довольно сложным для точного аналитического решения. Возможно, потребуется использование численных методов для нахождения приближенных решений.