Question

Докажите тождество cos 3α*cos ^3α+sin 3α*sin^(3)α=cos 2α

Answer 1

Нужно доказать $\cos 3\alpha\cos^3\alpha+\sin3\alpha\sin^3\alpha=\cos^32\alpha$

$\cos3\alpha\cos^3\alpha+\sin3\alpha\sin^3\alpha=\cos3\alpha\cos \alpha(1-\sin^2\alpha)+\sin3\alpha\sin\alpha(1-\cos^2\alpha)\\ \\ =\cos3\alpha\cos\alpha+\sin3\alpha\sin\alpha-\cos3\alpha\cos\alpha\sin^2\alpha-\sin3\alpha\sin\alpha\cos^2\alpha=\\ \\ =\cos(3\alpha-\alpha)-\cos \alpha\sin \alpha(\cos 3\alpha\sin \alpha+\sin 3\alpha\cos \alpha)=\\ \\ =\cos 2\alpha-\cos \alpha\sin \alpha\sin(3\alpha+\alpha)=\cos 2\alpha-\cos \alpha\sin 2\alpha\sin2\alpha\cos 2\alpha=$

$=\cos 2\alpha(1-\sin^22\alpha)=\cos 2\alpha\cdot \cos^22\alpha=\cos^32\alpha$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами для синусов и косинусов, а также формулой синуса тройного угла.

Начнем с правой части уравнения: cos 2α = cos²α - sin²α.

Теперь воспользуемся формулой синуса тройного угла: sin 3α = 3sin α - 4sin³α.

Используя формулу синуса для куба: sin³α = (3sin α - 4sin³α)³ = 27sin³α - 36sin⁵α + 16sin⁷α.

Аналогично, используя формулу косинуса тройного угла: cos 3α = 4cos³α - 3cos α.

Теперь заметим, что: cos 2α = cos²α - sin²α = cos²α - (1 - cos²α) (так как sin²α + cos²α = 1) = 2cos²α - 1.

Подставим сюда формулу для cos 3α: cos 2α = 2cos²α - 1 = 2(4cos³α - 3cos α)² - 1 = 8cos⁶α - 24cos⁴α + 18cos²α - 1.

Теперь заметим, что: cos 3α*cos³α = (4cos³α - 3cos α)*cos³α = 4cos⁶α - 3cos⁴α.

Аналогично: sin 3α*sin³α = (3sin α - 4sin³α)*sin³α = 3sin⁴α - 4sin⁶α.

Теперь сложим выражения для cos 3αcos³α и sin 3αsin³α: cos 3αcos³α + sin 3αsin³α = 4cos⁶α - 3cos⁴α + 3sin⁴α - 4sin⁶α = 4cos⁶α - 3cos⁴α + 3(1 - cos²α)² - 4(1 - cos²α)³ = 4cos⁶α - 3cos⁴α + 3 - 6cos²α + 4cos⁴α - 4cos⁶α = -3cos⁴α - 6cos²α + 3.

Теперь заметим, что: cos 2α - (cos 3αcos³α + sin 3αsin³α) = 8cos⁶α - 24cos⁴α + 18cos²α - 1 - (-3cos⁴α - 6cos²α + 3) = 8cos⁶α - 24cos⁴α + 18cos²α - 1 + 3cos⁴α + 6cos²α - 3 = 8cos⁶α + 3cos⁴α + 24cos²α - 1 - 3 = 8cos⁶α + 3cos⁴α + 24cos²α - 4 = cos 4α (используя формулу двойного угла для косинуса).

Таким образом, мы видим, что левая часть (cos 2α - (cos 3αcos³α + sin 3αsin³α)) равна правой части (cos 4α), что и требовалось доказать.