Question

Найдите значение выражения: (2 sin(α − 7π) + cos ((-7π/2) + α) / (sin(α + π)). Вычислите: sin (arcsin (−√2/2) +arctg(−1)). Вычислите: sin (arcsin (-√2/2) + (−1)).

Answer 1

$1)\ \ \ \dfrac{2sin(a-7\pi )+cos(-\frac{7\pi}{2}+a)}{sin(a+\pi )}=\dfrac{-2sin(7\pi -a)+cos(\frac{7\pi}{2}-a)}{sin(\pi +a)}=\\\\\\=\dfrac{-2sina-sina}{-sina}=\dfrac{-3sina}{-sina}=3$

$2)\ \ sin\Big(arcsin(-\dfrac{\sqrt2}{2})+arctg(-1)\Big)=sin\Big(-arcsin\dfrac{\sqrt2}{2}-arctg1\Big)=\\\\\\=sin\Big(-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\Big)=sin\Big(-\dfrac{\pi}{2}\Big)=-sin\dfrac{\pi}{2}=-1$

Answer 2

Давайте по очереди рассмотрим каждое выражение.

1. Значение выражения:

   $\frac{2 \sin(\alpha - 7\pi) + \cos\left(-\frac{7\pi}{2} + \alpha\right)}{\sin(\alpha + \pi)}$

   Мы знаем, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ и $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, поэтому:

   $\cos\left(-\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)$

   Также, $\sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta)$, следовательно:

   $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$

   Подставляем эти значения:

   $\frac{2 \sin(\alpha - 7\pi) + \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)}{-\sin(\alpha)}$

   Теперь используем тригонометрические тождества $\sin(\theta) = -\sin(\theta + \pi)$ и $\cos(\theta) = \cos(\pi - \theta)$:

   $\frac{2 \sin(\alpha + \pi) + \cos(\alpha + \pi)}{-\sin(\alpha)}$

   Подставляем значения $\sin(\alpha + \pi)$ и $\cos(\alpha + \pi)$:

   $\frac{2 (-\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))}{-\sin(\alpha)}$

   Упрощаем выражение:

   $\frac{-2\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

   Теперь можно разделить числитель на знаменатель:

   $-2 + \cot(\alpha)$

2. Выражение:

   $\sin(\arcsin(-\sqrt{2}/2) + \arctan(-1))$

   Обратимся к определению обратных тригонометрических функций:

   $\arcsin(-\sqrt{2}/2)$ означает, что $-\sqrt{2}/2$ это $\sin(\theta)$, тогда $\theta = -\pi/4$.

   $\arctan(-1)$ означает, что $-1$ это $\tan(\phi)$, тогда $\phi = -\pi/4$.

   Теперь подставляем значения в выражение:

   $\sin(-\pi/4 + -\pi/4) = \sin(-\pi/2) = -1$

3. Выражение:

   $\sin(\arcsin(-\sqrt{2}/2) + (-1))$

   Опять же, используем определение $\arcsin(-\sqrt{2}/2)$, которое означает $-\pi/4$.

   Теперь подставляем значения:

   $\sin(-\pi/4 + -1) = \sin(-\pi/4 - 1)$

   Это значение не может быть упрощено дальше без калькулятора, но оно будет лежать в интервале $[-1, 1]$.

Итак, ответы:

1. Значение выражения $-2 + \cot(\alpha)$.
2. Значение выражения $-1$.
3. Значение выражения $\sin(-\pi/4 - 1)$, которое лежит в интервале $[-1, 1]$.