Question

Найдите сумму ряда, пожалуйста!!sin π/3+ sin² π/3 +sin³ π/3+...+sin^n π/3+...​

Answer 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $\sin \frac{\pi}{3}$ и знаменателем $q=\sin \frac{\pi}{3}$. ВАЖНО: геометрическая прогрессия бесконечно убывающая тогда, когда $|q|$

$\sin\frac{\pi}{3}+\sin^2\frac{\pi}{3}+\sin^3\frac{\pi}{3}+...+\sin^n\frac{\pi}{3}+...=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{3}}{1-\sin\frac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\\ \\ =\dfrac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{4-3}=\sqrt{3}(2+\sqrt{3})$

Answer 2

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией, где первый член равен $\sin(\frac{\pi}{3})$ и знаменатель прогрессии равен $\sin(\frac{\pi}{3})$. Таким образом, общий член данного ряда будет выглядеть как $\sin^n(\frac{\pi}{3})$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена по следующей формуле:

$S = \frac{a}{1 - r},$

где $S$ - сумма ряда, $a$ - первый член ряда, $r$ - знаменатель прогрессии.

В данном случае, $a = \sin(\frac{\pi}{3})$ и $r = \sin(\frac{\pi}{3})$.

Подставив значения, получим:

$S = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{1 - \sin(\frac{\pi}{3})}.$

Вычислив численное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$, мы можем далее вычислить сумму ряда:

$S = \frac{\sqrt{3}/2}{1 - \sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2(2 - \sqrt{3})}.$

Чтобы упростить выражение, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное к $\sqrt{3}$ число:

$S = \frac{\sqrt{3} \cdot (2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{1} = 2\sqrt{3} + 3.$

Итак, сумма данного ряда равна $2\sqrt{3} + 3$.