Question

Помогите с арифметической прогрессией! Пожалуйста, решайте не заумно, а чтобы было понятно (уровень 10го класса). Знайти перші п’ятдесят членів двох арифметичних прогресій 2; 7; 12; … і 3; 10; 17;…, які однакові в обох прогресіях та обчислити їх суму S. У відповідь записати S : 100. (Найти первые пятьдесят членов двух арифметических прогрессий 2; 7, 12; ... и 3; 10, 17 ..., которые одинаковы в обоих прогрессиях и вычислить их сумму S. В ответ записать S: 100.)

Answer 1

Первая прогрессия

$a_n = 2 + 5(n-1) = 5n-3$

Вторая прогрессия

$b_m = 3+7(m-31) = 7m-4$

Где m,n - натуральные числа.

Приравняем

$5n-3 = 7m - 4\\7m - 5n = 1$

Если какие-то m и n - решения, то ближайшее следующее решение это m+5 и n+7, так как числа 7 и 5 взаимно простые. Совпадающие решения также образуют арифметическую прогрессию с шагом 7*5=35

Первое совпадение это число 17 (n=4 и m=3)

Следующее совпадение это (n=11, m=8) 52 = 17+5*7

Итак, совпадающие члены это

$c_n = 17 + 35(n-1) = 35n - 18$

А сумма

$S = c_1+...+c_{50} = 35\cdot50\cdot51/2-900 = 43725\\S/100 = 437.25$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти первые пятьдесят членов двух арифметических прогрессий и вычислить их сумму S. Задача указывает, что оба ряда прогрессий должны быть одинаковыми.

Давайте начнем с первой прогрессии: 2, 7, 12, ...

Чтобы найти следующий член прогрессии, мы должны прибавить к предыдущему члену постоянную разность. Разность между каждыми двумя последовательными членами в этой прогрессии равна 5.

Таким образом, следующий член прогрессии будет равен предыдущему члену (12) плюс разность (5), что дает нам 17.

Продолжим этот процесс, пока не найдем первые пятьдесят членов прогрессии:

2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97, 102, 107, 112, 117, 122, 127, 132, 137, 142, 147, 152, 157, 162, 167, 172, 177, 182, 187, 192, 197, 202, 207, 212, 217, 222, 227, 232, 237, 242, 247, 252

Теперь перейдем ко второй прогрессии: 3, 10, 17, ...

Разность между каждыми двумя последовательными членами в этой прогрессии также равна 7.

Найдем первые пятьдесят членов второй прогрессии:

3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94, 101, 108, 115, 122, 129, 136, 143, 150, 157, 164, 171, 178, 185, 192, 199, 206, 213, 220, 227, 234, 241, 248, 255, 262, 269, 276, 283, 290, 297, 304, 311, 318, 325, 332, 339, 346, 353

Теперь у нас есть два ряда чисел. Чтобы найти сумму S, мы просто складываем все числа в этих рядах:

S = 2 + 7 + 12 + ... + 247 + 252 + 3 + 10 + 17 + ... + 346 + 353

После сложения всех чисел в этих рядах получим сум