Question

Уравнение sinx=0 Определить равносильны или не равно сильны ему следующие уравнения варианты ответа: а) cosx=1 б) tgx=0 в) cos2x=1 Г) √(x-1) * sinx=0

Answer 1

$\sin x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Равносильные уравнения - уравнения, множества решений которых совпадают.

а)

$\cos x=1$

$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Множества решений не совпадают. Уравнения не равносильны.

б)

$\mathrm{tg}x=0$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнения равносильны.

в)

$\cos2x=1$

$2x=2\pi n$

$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнения равносильны.

г)

$\sqrt{x-1} \cdot\sin x=0$

Уравнение не равносильно заданному, так как в отличие от него имеет как минимум корень $x=1$. Тем не менее, дорешаем уравнение:

$\left[\begin{array}{l} \sqrt{x-1} =0\\ \sin x=0 \\ x-1\geq0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\\\pi n-1\geq 0\Rightarrow \pi n\geq 1\Rightarrow n\geq \dfrac{1}{\pi} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\geq 1,\ n\in\mathbb{Z}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x=1\\ x=\pi n,\ n\in\mathbb{N}\end{array}$

Множества решений не совпадают. Уравнения не равносильны.

Ответ: равносильные уравнения б) и в), не равносильны - а) и г)

Answer 2

Давайте по очереди рассмотрим данные уравнения и определим, равносильны ли они уравнению sin(x) = 0.

a) cos(x) = 1: Это уравнение означает, что угол x имеет косинус, равный 1. Это верно только для угла x = 0 на интервале от 0 до 2π. Таким образом, это уравнение равносильно уравнению sin(x) = 0 только на интервале [0, 2π].

б) tg(x) = 0: Это уравнение означает, что тангенс угла x равен 0. Тангенс равен отношению синуса к косинусу (tg(x) = sin(x) / cos(x)). Таким образом, tg(x) = 0, когда sin(x) = 0 и cos(x) ≠ 0. Это уравнение равносильно уравнению sin(x) = 0 на интервалах [0, π] и [2π, 3π] и так далее.

в) cos(2x) = 1: Это уравнение говорит о том, что угол 2x имеет косинус, равный 1. Это верно только для угла 2x = 0 на интервале от 0 до 2π, что означает x = 0 на интервале от 0 до π. Это уравнение равносильно уравнению sin(x) = 0 только на интервале [0, π].

Г) √(x-1) * sin(x) = 0: Это уравнение может быть разбито на две части: √(x-1) = 0 и sin(x) = 0. Первое уравнение имеет решение x = 1, но на интервале [0, 2π] sin(x) = 0 только при x = 0 и x = π. Таким образом, это уравнение равносильно уравнению sin(x) = 0 на интервалах [0, π] и [2π, 3π] и так далее, за исключением точки x = 1.

Итак, из данных вариантов только уравнения б) tg(x) = 0 и Г) √(x-1) * sin(x) = 0 равносильны уравнению sin(x) = 0 на различных интервалах.