Question

Log1/6(x+4)>log1/6(x^2+2x-2)

Answer 1

Ответ:

x ∈ {-4, -3} ∪ {2, +∞}

Объяснение:

1. найдем область допустимых значений: х ∈ {-4, -1 - корень из 3} ∪ {-1 + корень из 3, +∞}

2. преобразуем неравенство: для 0 < a < 1 выражение log a (x) > log a (y) равно x < y, соответственно log 1/6 (x+4) > log 1/6 (x^2 + 2x - 2) = x + 4 < x^2 + 2x - 2

3. переместим выражение в левую часть и изменим его знак: x + 4 - x^2 - 2x + 2 < 0

4. приведем подобные члены и вычислим сумму: -x + 6 - x^2 < 0

5. поменяем порядок слагаемых/множителей переместительным законом: -x^2 - x + 6 < 0

6. запишем - x в виде разности: -x^2 + 2x - 3x + 6 < 0

7. вынесем за скобки общий множитель -x и -3: -x*(x - 2) - 3*(x - 2) < 0

8. вынесем за скобки общий множитель -(х - 2): -(х - 2)*(х + 3) < 0

9. сменим знаки обеих частей неравенства и поменяем знак неравенства на противоположный: (х -2)*(х + 3) > 0

10. рассмотрим все возможные случаи: возможны два, когда произведение a*b может быть > 0: под знаком системы a > 0 и b > 0 или a < 0 и b < 0, соответственно

$\left \{ {{x-2>0} \atop {x+3>0}} \right. \\\left \{ {{x-2$

11. решим систему неравенства относительно х:

$\left \{ {{x>2} \atop {x>-3}} \right. \\\left \{ {{x$

12. найдем пересечения двух систем:

x ∈ {2, +∞}

x ∈ {-∞, -3}

13. найдем объединение:

x ∈ {-∞, -3} ∪ {2, +∞}, х ∈ {-4, -1 - корень из 3} ∪ {-1 + корень из 3, +∞}

14. найдем пересечение множества решений и области допустимых значений, и получим ответ

Answer 2

To solve the inequality log₁/₆(x + 4) > log₁/₆(x² + 2x - 2), we can use logarithmic properties and algebraic manipulation. Here's the step-by-step solution:

Step 1: Convert the inequality to exponential form using the definition of logarithms. The base of the logarithm is 1/6:

(x + 4) > (x² + 2x - 2)^(1/6)

Step 2: Remove the logarithm by raising both sides of the inequality to the power of 6:

(x + 4)^6 > (x² + 2x - 2)

Step 3: Expand the binomial on the left side using the binomial theorem:

x^6 + 6x^5 * 4 + 15x^4 * 16 + 20x^3 * 64 + 15x^2 * 256 + 6x * 1024 + 4096 > (x² + 2x - 2)

Simplifying:

x^6 + 24x^5 + 240x^4 + 1280x^3 + 3840x^2 + 6144x + 4096 > x² + 2x - 2

Step 4: Move all terms to one side to obtain a polynomial:

x^6 + 24x^5 + 240x^4 + 1280x^3 + 3840x^2 + 6144x + 4096 - x² - 2x + 2 > 0

Rearranging terms:

x^6 + 24x^5 + 240x^4 + (1280x^3 - x^2) + (3840x^2 - 2x) + (6144x + 2) + 4096 > 0

Step 5: Factor or use numerical methods to find the roots of the polynomial. Unfortunately, the polynomial is of degree 6, and finding exact solutions can be challenging. Numerical methods, such as graphing or using a computer program, can help determine the solution set.

Note: The inequality may have complex solutions as well, depending on the values of x and the roots of the polynomial.

Alternatively, you can also use numerical methods to solve the inequality by graphing both sides of the inequality separately and finding the regions where one side is greater than the other.