Question

Найти сумму всех целых a из промежутка [-3;15], при которых функция f(x)=lg((x²+3)×㏒0,5 a - 2x(2-㏒2 a)+4x²+6) определена на всей числовой оси 1)100 2)6 3)110 4)10 5)114 P.S пожалуйста, объясните подробно у log числа 0,5 и 2 основания

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

Область определения функции: $(x^2+3)\log_{0{,}5}{a}-2x(2-\log_{2}{a})+4x^2+6>0$. Неравенство должно выполняться для любого x, в частности для x = 0. Подставим это значение:

$3\log_{0{,}5}a+6>0\\\log_{0{,}5}{a}>-2\\0$

Значит, потенциально подходящие значения a = 1, 2, 3. Необходимо проверить каждое из них, чтобы удостовериться, что неравенство справедливо для всех x. Приведём левую часть к стандартному виду квадратного трёхчлена:

$(\log_{0,5}{a}+4)x^2-2(2-\log_{2}{a})x+6+3\log_{0{,}5}{a}>0\\(4-\log_{2}{a})x^2-2(2-\log_2{a})x+6-3\log_{2}{a}>0$

Так как a не превосходит 3, старший коэффициент положителен, ветви параболы направлены вверх. Значит, чтобы неравенство выполнялось для всех x, дискриминант левой части (или в данном случае удобно использовать D/4) должен быть отрицательным:

$D_{/4}=(2-\log_{2}{a})^2-(4-\log_{2}{a})(6-3\log_{2}{a})=-2\log_2^2{a}+14\log_2{a}-20$

Пусть $\log_2{a}=t, 1\leq a\leq 3\Rightarrow 0\leq t$.

$D_{/4}=-2t^2+14t-20$

Все t подходят, а значит, и все a. Сумма подходящих a — 1 + 2 + 3 = 6.

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим условие, при котором функция f(x) определена на всей числовой оси. Функция определена только тогда, когда выражение внутри логарифма больше нуля.

Итак, у нас есть функция: $f(x) = \lg\left((x^2 + 3) \cdot \log_{0.5} a - 2x(2 - \log_2 a) + 4x^2 + 6\right)$

Выражение внутри логарифма должно быть положительным: $(x^2 + 3) \cdot \log_{0.5} a - 2x(2 - \log_2 a) + 4x^2 + 6 > 0$

Чтобы решить это неравенство, давайте выразим выражение с логарифмами и логарифмическими функциями через алгебраические выражения.

1. Выразим $\log_{0.5} a$ через $\log_2 a$: $\log_{0.5} a = \frac{\log_2 a}{\log_2 0.5} = -\log_2 a$

2. Подставим это выражение в неравенство: $(x^2 + 3)(-\log_2 a) - 2x(2 - \log_2 a) + 4x^2 + 6 > 0$

3. Упростим выражение, раскрыв скобки и объединив подобные члены: $-x^2 \log_2 a + 3 \log_2 a + 4x^2 + 4x \log_2 a + 6 > 0$

4. Для удобства группируем члены с $x^2$ и $x$: $(3 - \log_2 a)x^2 + (4 \log_2 a)x + (3 \log_2 a + 6) > 0$

Теперь у нас есть квадратичное неравенство относительно $x$. Для того чтобы найти интервалы, на которых оно выполняется, можем использовать анализ знаков:

1. Рассмотрим дискриминант квадратичного трехчлена $(3 - \log_2 a)x^2 + (4 \log_2 a)x + (3 \log_2 a + 6)$: $D = (4 \log_2 a)^2 - 4(3 - \log_2 a)(3 \log_2 a + 6)$

2. Дискриминант должен быть неположительным ($D \leq 0$), чтобы уравнение не имело действительных корней.

Решив неравенство $D \leq 0$ относительно $a$, получим интервалы, на которых функция определена на всей числовой оси.

Теперь давайте пройдемся по данным ответам и проверим, какие из них соответствуют этим интервалам:

1. $a = 100$: Вычислим дискриминант и проверим условие $D \leq 0$.

2. $a = 6$: То же самое - вычислим дискриминант и проверим условие.

3. $a = 110$: Вычислим дискриминант и проверим условие.

4. $a = 10$: Вычислим дискриминант и проверим условие.

5. $a = 114$: Вычислим дискриминант и проверим условие.

После проведения всех этих вычислений, мы сможем определить, какие из данных значений $a$ соответствуют условию определенности функции на всей числовой оси.