Question

Как найти первый член и разность арифметической прогрессии, если значение суммы первого и четвертого членов равно 23, а значение суммы третьего и шестого членов равно 31? ​

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} a_1+a_4=23\\ a_3+a_6=31 \end{cases}$

$\begin{cases} a_1+a_1+3d=23\\ a_1+2d+a_1+5d=31 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a_1+3d=23\\ 2a_1+7d=31 \end{cases}$

От второго уравнения отнимем первое:

$(2a_1+7d)-(2a_1+3d)=31-23$

$2a_1+7d-2a_1-3d=8$

$4d=8$

$d=2$

Подставим в первое уравнение значение d:

$2a_1+3\cdot2=23$

$2a_1+6=23$

$2a_1=23-6$

$2a_1=17$

$a_1=8.5$

Ответ: первый член равен 8.5; разность равна 2

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", а разность между членами прогрессии как "d".

Сумма первого и четвертого членов: a + (a + 3d) = 23

Сумма третьего и шестого членов: (a + 2d) + (a + 5d) = 31

Теперь у нас есть система уравнений с двумя уравнениями и двумя неизвестными ("a" и "d"). Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения "a" и "d".

Первое уравнение: a + (a + 3d) = 23 2a + 3d = 23 (1)

Второе уравнение: (a + 2d) + (a + 5d) = 31 2a + 7d = 31 (2)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Выразим "a" из уравнения (1): a = (23 - 3d) / 2

Подставим это значение "a" в уравнение (2): 2a + 7d = 31 2 * ((23 - 3d) / 2) + 7d = 31 23 - 3d + 7d = 31 4d = 8 d = 2

Теперь, найдя значение "d", подставим его обратно в выражение для "a": a = (23 - 3 * 2) / 2 a = (23 - 6) / 2 a = 17 / 2 a = 8.5

Итак, первый член "a" арифметической прогрессии равен 8.5, а разность "d" равна 2.