Question

При каком значении c квадратный трехчлен 5x^2-4x+c является полным квадратом двухчлена?

Answer 1

Выделим полный квадрат:

$5x^2 - 4x+c =$

$=(\sqrt{5}\cdot x)^2-2\cdot (\sqrt{5}\cdot x)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+$

$+ (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 + c =$

$=(\sqrt{5}\cdot x - \frac{2}{\sqrt{5}})^2 + c - \frac{4}{5}$

Итак, при $c - \frac{4}{5} = 0$ будет точный квадрат, то есть при

$c = \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$

Ответ. 0,8.

Answer 2

Чтобы квадратный трехчлен 5x^2 - 4x + c был полным квадратом двухчлена, его можно представить в виде квадрата бинома:

5x^2 - 4x + c = (ax + b)^2,

где a и b - константы, которые нужно найти.

Раскрывая квадрат, получаем:

(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в исходном трехчлене и представлении в виде квадрата бинома, получаем:

a^2 = 5, 2ab = -4, b^2 = c.

Из первого уравнения следует, что a = ±√5.

Из второго уравнения можно найти b:

2ab = -4, 2(±√5)b = -4, b = ±(-4) / (2√5), b = ±(-2/√5).

Теперь мы знаем значения a и b, которые делают квадратный трехчлен полным квадратом двухчлена:

5x^2 - 4x + c = (±√5x ± 2/√5)^2.

Раскрывая это выражение в квадрате:

(±√5x ± 2/√5)^2 = 5x^2 ± 4x + 4/5.

Следовательно, чтобы исходный квадратный трехчлен 5x^2 - 4x + c был полным квадратом двухчлена, необходимо, чтобы c = 4/5.