Question

2 sin^3⁡x-sin^2⁡x+2 sin⁡x*cos^2⁡x-cos^3⁡x=0 можно развернутое решение, пожалуйста

Answer 1

$\displaystyle 2sin^3x-sin^2x+2sinx\cdot cos^2x-cos^3x=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow sin^2x(2sinx-1)+cos^2x(2sinx-1)=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (2sinx-1)(sin^2x+cos^2x)=0 \Rightarrow (2sinx-1)\cdot 1 =0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2sinx-1=0 \Rightarrow sinx=\frac{1}{2} \Rightarrow \\ \Rightarrow \left [ {{x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}} \atop {x=\frac{5\pi}{6} +2\pi n, n \in \mathbb{Z}}} \right.$

Ответ: $\displaystyle \boxed{\frac{\pi}{6} +2\pi k,\frac{5\pi}{6} +2\pi n; \ k,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с этим уравнением:

$2 \sin^3(x) - \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos^2(x) - \cos^3(x) = 0.$

Для начала, давайте попробуем преобразовать выражение, выделив общие множители:

$\sin^2(x) (2 \sin(x) - 1) + \cos^2(x) (2 \sin(x) - 1) = 0.$

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель $2 \sin(x) - 1$. Мы можем вынести его за скобки:

$(2 \sin(x) - 1)(\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 0.$

Заметьте, что $\sin^2(x) + \cos^2(x)$ равно 1 по тождеству тригонометрии. Поэтому у нас остается:

$(2 \sin(x) - 1)(1) = 0.$

Теперь мы имеем два возможных случая:

1. $2 \sin(x) - 1 = 0$: Это уравнение можно решить относительно $\sin(x)$: $2 \sin(x) = 1$ $\sin(x) = \frac{1}{2}$ Для этого значения $\sin(x)$ существует два угла, находящихся в интервале [0, $2\pi$], удовлетворяющих условию: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

2. $1 = 0$: Этот случай является тривиально невозможным, так как равенство $1 = 0$ никогда не выполняется.

Итак, решения исходного уравнения $2 \sin^3(x) - \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos^2(x) - \cos^3(x) = 0$ в интервале [0, $2\pi$] равны $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.