Question

СРОЧНО, ребят, помогите!. нужно найти общий вид первообразной для функции f(x)=x^2-sin2x​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x) = x^2 - sin 2x

Очень просто, табличные интегралы.

Интеграл суммы функций равен сумме первообразных:

$\int {(f(x) + g(x))} \, dx = F(x) + G(x) + C$

Интеграл функции от x с коэффициентом равен первообразной, деленной на этот коэффициент.

Но x остается с коэффициентом:

$\int {f(ax)} \, dx =\frac{1}{a} F(ax) + C$

В нашем случае:

F(x) = x^3/3 - 1/2*(-cos 2x) + C = x^3/3 + 1/2*cos 2x + C

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной функции f(x) = x^2 - sin(2x), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Процедура интегрирования по частям позволяет нам преобразовать интеграл от произведения двух функций в более простой интеграл.

Интегрирование по частям выполняется следующим образом:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx,

где u и v - две функции, u' - производная функции u.

В данном случае, можно выбрать u = x и dv = (x - sin(2x)) dx.

Тогда, находим производную u' = 1 и интегрируем dv, используя методы интегрирования по частям.

∫ (x - sin(2x)) dx = ∫ x dx - ∫ sin(2x) dx.

Первый интеграл ∫ x dx просто равен (1/2) * x^2.

Второй интеграл ∫ sin(2x) dx можно вычислить путем замены переменной. Полагаем t = 2x, тогда dt = 2 dx, и получаем:

(1/2) ∫ sin(t) dt = -(1/2) * cos(t).

Возвращаемся к исходной переменной:

-(1/2) * cos(t) = -(1/2) * cos(2x).

Таким образом, получаем общий вид первообразной функции f(x):

∫ (x^2 - sin(2x)) dx = (1/2) * x^2 - (1/2) * cos(2x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.