Question

Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y=x^2 y=0 x=1 x=2

Answer 1

Ответ:

$2\frac{1}{3}$

Объяснение:

Подынтегральной функцией будет y=x², а пределами интегрирования х₁=1 и х₂=2. Надо найти площадь закрашенной области.

$\int\limits^2_1 {x^2}\,dx=\frac{x^3}{3}|_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции между графиком функции y = x^2, линией y = 0, вертикальными линиями x = 1 и x = 2, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь такой области будет равна интегралу от y = 0 до y = x^2 по переменной y, ограниченному между x = 1 и x = 2.

Интеграл для вычисления площади будет следующим: $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 0) \, dy$

Интегрируя это выражение по y, получим: $S = \int_{1}^{2} x^2 \, dy = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Итак, площадь криволинейной трапеции между графиком y = x^2, линией y = 0, x = 1 и x = 2 равна $\frac{7}{3}$ квадратных единиц.

Answer 3

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями, следует вычислить определенный интеграл от функции, которая представляет собой разность между верхней и нижней функциями границы.

Дано: Верхняя граница: y = x^2 Нижняя граница: y = 0 Левая граница: x = 1 Правая граница: x = 2

Функция для интегрирования: f(x) = x^2

Площадь криволинейной трапеции можно выразить следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция, a и b - пределы интегрирования.

В данном случае a = 1, b = 2, f(x) = x^2, g(x) = 0:

S = ∫[1, 2] (x^2 - 0) dx S = ∫[1, 2] x^2 dx

Интегрируя x^2 по переменной x в пределах [1, 2], получаем:

S = [x^3 / 3] от 1 до 2 S = (2^3 / 3) - (1^3 / 3) S = 8/3 - 1/3 S = 7/3

Итак, площадь криволинейной трапеции между графиками y = x^2, y = 0, x = 1 и x = 2 равна 7/3 единицам квадратных.