Question

Доказать что функция y=x^3+1 возрастает на всей числовой прямой там есть черновик,но дальше я что-то туплю(​

Answer 1

Ответ:

у=х³+1

Функция будет возрастающей, если для любого х₂>х₁    у₂>у₁.

Пусть х₂>х₁, тогда у₂=х₂³+1 и  у₁=х₁³+1.

Составим разность у₂-у₁, и докажем, что   у₂-у₁>0.

у₂-у₁=(х₂³+1)-(х₁³+1)=х₂³+1-х₁³-1=х₂³-х₁³

Воспользуемся формулой сокращённого умножения "Разность кубов", получим:

х₂³-х₁³=(х₂-х₁)(х₂²+х₁х₂+х₁²).

(х₂-х₁)>0, т.к. х₂>х₁ по условию.

х₂²+х₁²>0 при любых х₁ и х₂, а х₁х₂ может быть и положительное, и отрицательное.

1) Если  х₁х₂>0, то (х₂²+х₁х₂+х₁²)>0    ⇒ у₂>у₁.

2) Если х₁х₂<0, то (х₂²+х₁х₂+х₁²)>0, т.к. |х₂²+х₁²|>|х₁х₂| при любых х  ⇒ у₂>у₁.

Мы доказали, что при возрастании аргумента функция возрастает при любых х∈(-∞;∞) ⇒функция у=х³+1 возрастает на всей числовой прямой.