Question

Найдите разложение полинома с помощью формулы Бинома Ньютона: (2− х)^4 даю 40 б

Answer 1

Объяснение:

$(2-x)^4=C_4^02^4(-x)^0+C_4^12^3(-x)^1+C_4^22^2(-x)^2+C_4^32^1(-x)^3+C_4^42^0(-x)^4=\\=\frac{4!}{(4-0)!*0!}16-\frac{4!}{(4-1)!*1!}8x +\frac{4!}{(4-2)!*2!}4x^2-\frac{4!}{(4-3)!*3!}2x^3+\frac{4!}{(4-4)!*4!} 1x^4=\\=16-32x+24x^2-8x^3+x^4.$

Answer 2

Формула Бинома Ньютона предоставляет способ разложения выражения вида $(a + b)^n$, где $n$ - натуральное число, на сумму слагаемых. В вашем случае у нас есть $(2 - x)^4$, где $a = 2$ и $b = -x$, а $n = 4$. Формула Бинома Ньютона выглядит следующим образом:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применяя эту формулу к вашему полиному $(2 - x)^4$, мы получим:

$(2 - x)^4 = \binom{4}{0} \cdot 2^4 \cdot (-x)^0 + \binom{4}{1} \cdot 2^3 \cdot (-x)^1 + \binom{4}{2} \cdot 2^2 \cdot (-x)^2 + \binom{4}{3} \cdot 2^1 \cdot (-x)^3 + \binom{4}{4} \cdot 2^0 \cdot (-x)^4$.

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

$\binom{4}{0} = 1$, $\binom{4}{1} = 4$, $\binom{4}{2} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$.

Подставляя значения биномиальных коэффициентов, получаем:

$(2 - x)^4 = 1 \cdot 2^4 \cdot 1 + 4 \cdot 2^3 \cdot (-x) + 6 \cdot 2^2 \cdot x^2 + 4 \cdot 2^1 \cdot (-x)^3 + 1 \cdot 2^0 \cdot x^4$.

Упрощая каждое слагаемое, получим:

$(2 - x)^4 = 16 - 32x + 24x^2 - 8x^3 + x^4$.

Итак, разложение полинома $(2 - x)^4$ с помощью формулы Бинома Ньютона:

$(2 - x)^4 = 16 - 32x + 24x^2 - 8x^3 + x^4$.