Question

Найти арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырёх членов её равна 26, а произведение тех же членов равно 880. Объясните, пожалуйста.

Answer 1

Пусть {aₙ} — последовательность арифметической прогрессии

Можно записать сумму первых четырёх членов как $\sum\limits_i a_i$, где $i=\overline{1,4}$, но мы запишем известной формулой n первых членов арифметической прогрессии $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\times n$.

$S_4=\frac{a_1+a_4}{2}\times 4=\frac{2a_1+3d}{2}\times4=4a_1+6d=26\\ 2a_1+3d=13\\ a_1=\frac{13-3d}{2}$

Теперь поработаем немного с их произведением.

$a_1a_2a_3a_4=a_1\times (a_1+d)\times (a_1+2d)\times (a_1+3d)=\\ \\ =\frac{13-3d}{2}\times\frac{13-d}{2}\times\frac{13+d}{2}\times\frac{13+3d}{2}=\frac{(169-9d^2)(169-d^2)}{16}$

$\frac{(169-9d^2)(169-d^2)}{16}=880$

Пусть $d^2=t$

$\frac{(169-9t)(169-t)}{16}=880\\ \\ 9t^2-1690t+14481=0$

$t_1=9\\ t_2=\frac{1609}{9}$

Осталось вернутся к замене и найти разность прогрессии

$d^2=9\\ d_{1,2}=\pm3\\ \\ d^2=\frac{1609}{9}\\ d_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{1609}}{3}$

Далее Вам нужно будет найти первый член $a_1$ для каждого $d_i$ и найти эту арифметическую прогрессию. Желаю успехов!

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", а разность между членами - как "d". Тогда мы можем записать первые четыре члена прогрессии следующим образом:

a a + d a + 2d a + 3d

Сумма этих членов равна 26:

a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 26

Упрощая это уравнение, получаем:

4a + 6d = 26 (Уравнение 1)

Также известно, что произведение этих членов равно 880:

a * (a + d) * (a + 2d) * (a + 3d) = 880

Упрощая это уравнение, получаем:

a^4 + 6a^3d + 11a^2d^2 + 6ad^3 = 880 (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (Уравнение 1 и Уравнение 2), которую мы можем решить для нахождения значений "a" и "d".

Решая эту систему уравнений численно, получим значения:

a = 2 d = 4

Таким образом, искомая арифметическая прогрессия будет:

2, 6, 10, 14