Question

Найдите: а) f'(-2), если f(x) = (5+2x) ^4 б) f'(π), если f(x) = sin x / x

Answer 1

a)

$f(x) = {(5 + 2x)}^{4}$

$f'(x) = (( {(5 + 2x)}^{4})') \times (5 + 2x)'$

$f'(x) = 4 \times {(5 + 2x)}^{3} \times 2 = 8 \times {(5 + 2x)}^{3}$

$f'( - 2) = 8 \times {(5 + 2 \times ( - 2))}^{3} = 8 \times {(5 - 4)}^{3} = 8 \times {1}^{3} = 8$

б)

$f(x) = \frac{ \sin(x) }{x}$

$f'(x) = \frac{(( \sin(x))') \times x - (x)' \times \sin(x) }{ {x}^{2} }$

$f'(x) = \frac{ \cos(x) \times x - 1 \times \sin(x) }{ {x}^{2} }$

$f'(\pi) = \frac{ \cos(\pi) \times \pi - \sin(\pi) }{ {\pi}^{2} } = \frac{ - 1 \times \pi - 0}{ {\pi}^{2} } = - \frac{\pi}{ {\pi}^{2} } = - \frac{1}{\pi}$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

а) Для функции $f(x) = (5+2x)^4$, используем цепное правило (chain rule) для вычисления производной сложной функции:

$$\begin{align*} f(x) &= (5+2x)^4 \\ f'(x) &= 4 \cdot (5+2x)^3 \cdot \frac{d}{dx} (5+2x) \\ &= 4 \cdot (5+2x)^3 \cdot 2 \\ &= 8 \cdot (5+2x)^3 \end{align*}$$

Теперь, чтобы найти $f'(-2)$, подставим $x = -2$ в выражение для производной:

$$f'(-2) = 8 \cdot (5+2 \cdot (-2))^3 = 8 \cdot 1^3 = 8$$

б) Для функции $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$, воспользуемся правилом дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x)) - \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$$

Так как производная $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$ и производная $\frac{d}{dx}(x) = 1$, подставим значения:

$$f'(x) = \frac{x \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cdot \cos(x) - \sin(x)}{x^2}$$

Для $x = \pi$, получаем:

$$f'(\pi) = \frac{\pi \cdot \cos(\pi) - \sin(\pi)}{\pi^2} = \frac{-\pi}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}$$

Итак, $f'(-2) = 8$ и $f'(\pi) = -\frac{1}{\pi}$.