Question

Докажіть,що коли a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac , де a,b,c - дійсні числа,то a=b=c

Answer 1

Возможно, существует и другой метод доказательства, но я буду использовать метод от противного.

Итак, нужно доказать, что $a=b=c$, то есть

$\displaystyle \left \{ {{a=b} \atop {b=c}} \right. \Rightarrow a=b=c$

Перепишем наше равенство, переместив все в левую часть:

$a^2+b^2+c^2-ac-bc-ac=0$

1) Предположим, что $a \neq b$ (при этом подразумевая, что $b=c$)

Тогда получаем следующее:

$b=c \Rightarrow b^2=c^2; bc=c\cdot c=c^2$

$a^2+c^2+c^2-ab-c^2-ac=0 \Rightarrow a^2+c^2-ab-ac=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow a^2+c^2-a(b+c)=0 \Rightarrow a^2+c^2=a(b+c) \Rightarrow a^2+b^2=2ac$

Далее смотрим: слева неотрицательное выражение всегда, а справа может быть и отрицательное, но у нас по условию дано, что для любых действительных чисел равенство выполняется, а здесь это далеко не так (на языке математики запись такая: $\exists (a;c): ac$ )

Возможно, это не очень явно, поэтому вспомним, что по предположению $b=c$, и доделаем:

$a^2+b^2=2ac \Rightarrow a^2+b^2=2ab \Rightarrow a^2-2ab+b^2=0 \Rightarrow (a-b)^2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow a=b$

А это прямо яркий пример противоречия: предположив, что $a\neq b$, мы получили $a=b$.

Из этого следует, что $a=b$, но и из предположенного же $b=c$ уже следует, что $a=b=c$.

Вообще, по идее, этого уже достаточно, ну на всякий случай посмотрим ещё:

2) Предположим, что $b \neq c$ (при этом $a=b$)

$a=b \Rightarrow a^2=b^2; ab=a\cdot a = a^2$

$b^2+b^2+c^2-b^2-bc-ac=0 \Rightarrow b^2+c^2-bc-ac=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow b^2+c^2=c(a+b) \Rightarrow b^2+c^2=2bc \Rightarrow b^2-2bc+c^2=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow (b-c)^2=0 \Rightarrow b=c$

И тогда уже точно исходя из пунктов 1) и 2), получаем

$\displaystyle \left \{ {{a=b} \atop {b=c}} \right. \Rightarrow a=b=c$, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте спробуємо довести це за допомогою математичних маніпуляцій.

Маємо дане рівняння: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac

Додамо 2(ab + bc + ac) до обох боків рівняння: a^2 + 2ab + b^2 + 2bc + c^2 + 2ac = 3ab + 3bc + 3ac

Тепер ми можемо переписати ліву сторону як квадрат трьох доданків: (a + b)^2 + (b + c)^2 + (c + a)^2 = 3(ab + bc + ac)

Зараз ми можемо використовувати наступну важливу ідею: квадрат будь-якого дійсного числа є невід'ємним числом, і тільки нуль має квадрат рівний нулю. Оскільки сума трьох невід'ємних чисел дорівнює нулю, то кожне з цих чисел повинно бути рівне нулю.

Отже, ми маємо такі рівності: a + b = 0 b + c = 0 c + a = 0

З першої рівності випливає, що a = -b. Підставляючи це у другу рівності, отримуємо -b + c = 0, тобто c = b. Підставивши це в третю рівність, ми отримуємо -b + a = 0, тобто a = b.

Таким чином, ми довели, що a = b = c, що і було потрібно довести.