Question

∫_0^1(х^3+х^(2 )+х+1)/(х+1) dxпомогите​

Answer 1

Ответ:

$= 1 \frac{1}{3}$

Объяснение:

$s_{0} ^{1} \frac{ {x}^{3} + {x}^{2} + x + 1 }{x + 1}dx =$

преобразуем продынтегральное выражение:

$\frac{ {x}^{3} + {x}^{2} + x + 1}{x +1 \: } = \frac{( {x}^{3} + {x}^{2}) +(x + 1) }{x + 1} = \frac{ {x}^{2} \times (x + 1) + (x + 1)}{x + 1} = \frac{ {x}^{2} \times (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} = {x}^{2} + 1$

$s_{0} ^{1}( {x}^{2} + 1)dx = ( \frac{ {x}^{3} }{3} + x)| _{0}^{1} = (\frac{ {1}^{3} }{3} + 1) - ( \frac{ {0}^{3} }{3} + 0) = 1 \frac{1}{3}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл. Давайте начнем:

∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx, где x изменяется от 0 до 1.

Для начала разделим числитель на знаменатель, используя долгое деление или синтетическое деление:

x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1) * (x + 1) + 0

Теперь наш интеграл выглядит так:

∫((x^2 + 1) * (x + 1) + 0)/(x + 1) dx

Мы видим, что (x^2 + 1) * (x + 1) можно упростить:

(x^2 + 1) * (x + 1) = x^3 + x^2 + x + 1

Таким образом, интеграл становится:

∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx = ∫(x^3 + x^2 + x + 1) dx

Теперь интегрируем каждый член по отдельности:

∫x^3 dx + ∫x^2 dx + ∫x dx + ∫1 dx

Вычислим интегралы:

∫x^3 dx = x^4 / 4 ∫x^2 dx = x^3 / 3 ∫x dx = x^2 / 2 ∫1 dx = x

Теперь объединим результаты:

x^4 / 4 + x^3 / 3 + x^2 / 2 + x + C

Теперь подставляем пределы интегрирования (от 0 до 1):

F(1) - F(0) = (1^4 / 4 + 1^3 / 3 + 1^2 / 2 + 1) - (0^4 / 4 + 0^3 / 3 + 0^2 / 2 + 0)

Упрощая, получаем:

1/4 + 1/3 + 1/2 + 1 = 13/12

Таким образом, окончательный результат интеграла:

∫(x^3 + x^2 + x + 1)/(x + 1) dx = 13/12