Question

Вычислите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями 1)y=x^3+3,y=0,x=-1,x=12)y=3/sin^2x,y=0,x=п/6,x=3п/4

Answer 1

$\int_{-1}^1 (x^3 + 3)\; dx = (\frac{x^4}{4} + 3x)|_{-1}^1 =$

$= \frac{1}{4} + 3 - ( \frac{(-1)^4}{4} + 3\cdot (-1)) =$

$= \frac{1}{4} + 3 - \frac{1}{4} + 3 = 6$

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции ограниченной графиками функций, нужно найти интеграл от разности этих функций по переменной x на заданном интервале.

Для первой трапеции, ограниченной линиями y = x^3 + 3, y = 0, x = -1 и x = 1, площадь может быть вычислена следующим образом:

S1 = ∫[-1, 1] (x^3 + 3) dx - ∫[-1, 1] 0 dx

Первое слагаемое представляет собой интеграл от функции (x^3 + 3), а второе слагаемое равно 0, так как линия y = 0 горизонтальна и не ограничивает трапецию.

Выполним вычисления:

S1 = ∫[-1, 1] (x^3 + 3) dx = [x^4/4 + 3x]_(-1 to 1) = [(1^4/4 + 31) - ((-1)^4/4 + 3(-1))] = [(1/4 + 3) - (1/4 - 3)] = [7/4 - (-11/4)] = 18/4 = 9/2 = 4.5

Таким образом, площадь первой криволинейной трапеции равна 4.5.

Для второй трапеции, ограниченной линиями y = 3/sin^2(x), y = 0, x = π/6 и x = 3π/4, площадь может быть вычислена следующим образом:

S2 = ∫[π/6, 3π/4] (3/sin^2(x)) dx - ∫[π/6, 3π/4] 0 dx

Выполним вычисления:

S2 = ∫[π/6, 3π/4] (3/sin^2(x)) dx = [-3cot(x)]_(π/6 to 3π/4) = [-3cot(3π/4) - (-3cot(π/6))] = [-3(-1) - (-3(√3/3))] = [3 + √3] ≈ 4.732

Таким образом, площадь второй криволинейной трапеции равна примерно 4.732.