Question

Найдите коэффициент при х^3 в биномиальном разложении (2 - 3х)^4.

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^4+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(2-3x)^4=(2+(-3x))^4=...+C_4^3\, \cdot \, 2\, \cdot \, (-3x)^3+...=...+\dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\cdot 2\cdot (-27x^3)\, +...=\\\\\\=\ .......\, +4\cdot \, 2\, \cdot (-27)\cdot x^3\, +\, .......\ =\ .......\, +(-216)\cdot x^3\, +\, .......$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $(-216)$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении $(2 - 3x)^4$, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $a = 2$, $b = -3x$, $n = 4$. Мы ищем член с $x^3$, то есть $k = 1$.

Таким образом, коэффициент при $x^3$ будет равен:

$\binom{4}{1} \cdot 2^{4-1} \cdot (-3x)^1 = 4 \cdot 2^3 \cdot (-3x) = -96x$.

Итак, коэффициент при $x^3$ в разложении $(2 - 3x)^4$ равен -96.