Question

Помогите 2cos²x-2cos x-1=0

Answer 1

Ответ:

Ответ: x = ±arccos[(1 - √3)/2].

Объяснение:

2cos²x - 2cosx - 1 = 0

Пусть t = cosx, t ∈ [-1; 1]

2t² - 2t - 1 = 0

D = 4 + 2·4 = 12 = (2√3)²

t₁ = (2 + 2√3)/4 = (√3 + 1)/2 - посторонний корень

t₂ = (2 - 2√3)/4 = (1 - √3)/2

Обратная замена:

cosx = (1 - √3)/2

x = ±arccos[(1 - √3)/2]

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение $2\cos^2(x) - 2\cos(x) - 1 = 0$.

Давайте обозначим $\cos(x)$ как $u$, чтобы уравнение приняло вид:

$2u^2 - 2u - 1 = 0.$

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное относительно переменной $u$. Для этого мы можем использовать квадратное уравнение:

$au^2 + bu + c = 0,$

где в данном случае $a = 2$, $b = -2$ и $c = -1$.

Решение квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных корня; если $D = 0$, то один корень; если $D < 0$, то нет действительных корней.

Дискриминант для нашего уравнения:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12.$

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Подставляем значения $a = 2$, $b = -2$ и $D = 12$:

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4}.$

Упрощаем выражение:

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.$

Таким образом, у нас есть два возможных значения $u$:

1. $u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$
2. $u = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Теперь, чтобы найти значения $x$, для которых выполняется $\cos(x) = u$, возьмем обратный косинус (арккосинус) от обоих значений $u$:

1. x = \arccos\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + $2\pi k$, где $k$ - целое число.
2. x = \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + $2\pi k$, где $k$ - целое число.

Таким образом, уравнение $2\cos^2(x) - 2\cos(x) - 1 = 0$ имеет бесконечное множество решений вида x = \arccos\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + $2\pi k$ и x = \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + $2\pi k$, где $k$ - любое целое число.