Question

Упростить: (1-cos^2a)*(1+tg^2a)*ctg^2a​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(1-cos²a)*(1+tg²a)*ctg²a​=(sin² a)*(cos² a + sin² a)/ cos²a * cos² a/sin² a=1

                                                               ↓                         ↓

                                                                1                           1  

sin² a /  sin² a =1

Answer 2

Для упрощения данного выражения, начнем с тригонометрических тождеств:

1. $\cos^2a + \sin^2a = 1$ - это тождество Пифагора.
2. $\tan^2a + 1 = \sec^2a$ - это определение секанса.

Используя эти тождества, мы можем упростить выражение:

$(1 - \cos^2a)(1 + \tan^2a)\cdot\cot^2a$

Сначала заметим, что $1 - \cos^2a = \sin^2a$. Затем заметим, что $\tan^2a = \sec^2a - 1$.

Теперь мы можем переписать выражение:

$\sin^2a(\sec^2a - 1)\cdot\cot^2a$

Теперь раскроем скобки:

$\sin^2a\sec^2a\cdot\cot^2a - \sin^2a\cdot\cot^2a$

Теперь воспользуемся тем фактом, что $\cot^2a = \frac{1}{\tan^2a}$ и $\sec^2a = \frac{1}{\cos^2a}$:

$\frac{\sin^2a}{\cos^2a}\cdot\frac{1}{\tan^2a} - \sin^2a\cdot\frac{1}{\tan^2a}$

Теперь у нас есть общий знаменатель, $\tan^2a$, поэтому мы можем объединить дроби:

$\frac{\sin^2a - \sin^2a\cos^2a}{\tan^2a}$

Используя тождество $\sin^2a\cos^2a = \frac{1}{4}\sin^22a$, мы получаем:

$\frac{\sin^2a - \frac{1}{4}\sin^22a}{\tan^2a}$

Теперь можно провести факторизацию числителя:

$\frac{\sin^2a(1 - \frac{1}{4}\sin^2a)}{\tan^2a}$

Или даже:

$\frac{\sin^2a(\frac{3}{4}\sin^2a - 1)}{\tan^2a}$

Таким образом, данное выражение упрощается до:

$\frac{\sin^2a(3\sin^2a - 4)}{4\tan^2a}$