Question

Найдите объем тела, образованного при вращении фигуры с осью Ох, ограниченной кривой 1у=√x, прямыми x=2 и x = 3.

Answer 1

Объяснение:

$y=\sqrt{x} \ \ \ \ x=2\ \ \ \ x=3\ \ \ \ V=?\\V=\pi \int\limits^3_2 {(\sqrt{x})^2 } \, dx =\pi \int\limits^3_2 {x} \, dx=\pi *\frac{x^2}{2}\ |_2^3=\pi *(\frac{3^2}{2}-\frac{2^2}{2})= \pi *(\frac{9}{2}-\frac{4}{2})=\frac{5\pi }{2}.$

Ответ: V≈7,854 куб. ед.

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Ox, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Исходная кривая задана уравнением y = √x, а ограничения по оси x - это x = 2 и x = 3.

Сначала найдем выражение для длины элементарного отрезка (дуги), который будет вращаться вокруг оси Ox. Для этого используем формулу длины дуги:

$$ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (y')²)dx,$$

где y' - производная y по x.

В данном случае, y = √x, и y' = 1 / (2√x).

Теперь мы можем найти элементарный объемовой элемент:

$$dV = πy² ds = πx dx,$$

где мы заменили y² на x, так как y = √x.

Теперь мы можем интегрировать это выражение от x = 2 до x = 3, чтобы найти объем:

$$V = ∫[2,3] πx dx = π ∫[2,3] x dx.$$

Вычислим этот интеграл:

$$V = π * [x²/2]_2^3 = π * (9/2 - 2/2) = 7π/2.$$

Таким образом, объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси Ox, ограниченной кривой y = √x, прямыми x = 2 и x = 3, равен 7π/2.