Question

Интегрирование подстановкой заменой переменной.1) xdx/x^2-92)e^xsin(e^x+7)dx​

Answer 1

Ответ:

===============================

Объяснение:

Answer 2

Для интегрирования данного выражения, давайте рассмотрим подстановку замены переменной. Обозначим $u = e^x + 7$, тогда $du = e^x dx$.

1. Выразим $dx$ через $du$: $dx = \frac{du}{e^x}$.

2. Подставим это выражение в исходное интеграл:

   $\int \frac{x}{x^2 - 92} e^x \sin(e^x + 7) dx = \int \frac{x}{x^2 - 92} u \sin(u) \frac{du}{e^x}$.

3. Теперь заменим $\frac{x}{x^2 - 92}$ на $\frac{1}{u^2 - 92}$ в числителе, используя $u = e^x + 7$.

   $\int \frac{1}{u^2 - 92} u \sin(u) \frac{du}{e^x}$.

4. Вынесем константу $\frac{1}{e^x}$ за знак интеграла:

   $\frac{1}{e^x} \int \frac{1}{u^2 - 92} u \sin(u) du$.

5. Теперь это стало интегралом, который можно интегрировать по частям. Применяя метод интегрирования по частям (интегрирование произведения функций):

   $\int u \sin(u) du = -u \cos(u) - \int (-\cos(u)) du$.

6. Подставим результат обратно в исходный интеграл:

   $-\frac{1}{e^x} \left(u \cos(u) + \int \cos(u) du\right)$.

7. Теперь интегрируем последний интеграл:

   $-\frac{1}{e^x} \left(u \cos(u) + \sin(u)\right) + C$,

   где $C$ - константа интегрирования.

8. Заменим обратно $u$ на $e^x + 7$:

   $-\frac{1}{e^x} \left((e^x + 7) \cos(e^x + 7) + \sin(e^x + 7)\right) + C$.

Итак, окончательный ответ:

$-\frac{1}{e^x} \left((e^x + 7) \cos(e^x + 7) + \sin(e^x + 7)\right) + C$.