Question

Помогите пожалуйста, даю 25 балов Доведіть, що вираз (a + b)(a + b - 14) + 49 набуває невід'ємних значень при будь якому а і b​

Answer 1

Відповідь:

(a + b)(a + b - 14) + 49 = a^2+ab-14a+ab+b^2-14b=a^2+b^2+2ab-14a-14b

Пояснення:

Answer 2

Щоб довести, що вираз (a + b)(a + b - 14) + 49 набуває невід'ємних значень при будь-яких значеннях a і b, ми можемо розглянути його як квадратичну функцію відносно змінних a і b і застосувати метод дослідження знаків або метод завершеного квадрату. В цьому випадку, давайте скористаємося методом завершеного квадрату.

1. Розкриємо дужки у виразі (a + b)(a + b - 14) + 49: (a + b)(a + b - 14) + 49 = a^2 + ab - 14a + ab + b^2 - 14b + 49 = a^2 + 2ab - 14a + b^2 - 14b + 49

2. Застосуємо метод завершеного квадрату, додавши і віднімаючи квадрати півкоєфіцієнтів a та b: a^2 + 2ab - 14a + b^2 - 14b + 49 = (a^2 - 14a + 49) + 2ab + (b^2 - 14b) = (a^2 - 14a + 49) + 2ab + (b^2 - 14b + 49) - 49

3. Продовжимо перетворення: (a^2 - 14a + 49) + 2ab + (b^2 - 14b + 49) - 49 = (a - 7)^2 + 2ab + (b - 7)^2 - 49

4. Очевидно, що квадрати будь-яких чисел завжди невід'ємні, тобто (a - 7)^2 ≥ 0 і (b - 7)^2 ≥ 0 для будь-яких a і b.

5. Оскільки квадрати додатних чисел є невід'ємними, то 2ab також буде невід'ємним.

6. Остаточно отримуємо: (a - 7)^2 + 2ab + (b - 7)^2 - 49 ≥ 0

Отже, вираз (a + b)(a + b - 14) + 49 набуває невід'ємних значень при будь-яких значеннях a і b.