Question

Какую наибольшую целочисленную длину может иметь высота треугольника, если две другие высоты равны 10 и 16?

Answer 1

Пусть дан треугольник со сторонами $a,b,c$  и высотами $h_a,h_b,h_c,$ проведенными к этим сторонам.

По условию пусть  $h_a=10,\ \ h_b=16.$

Тогда наибольшей будет высота $h_c$, которую нужно найти по условию задачи.

Площадь треугольника можно вычислить по любой из трёх формул:

$S_{\triangle}=\dfrac{ah_a}2=\dfrac{bh_b}2=\dfrac{ch_c}2$

Пользуясь равенством площадей, получим:

$\dfrac{ah_a}2=\dfrac{ch_c}2\ \ \Rightarrow\ \ \ ah_a=ch_c\ \ \Rightarrow\ \ a=\dfrac{ch_c}{h_a}=\dfrac{ch_c}{10}\\\\\dfrac{bh_b}2=\dfrac{ch_c}2\ \ \Rightarrow\ \ \ bh_b=ch_c\ \ \Rightarrow\ \ b=\dfrac{ch_c}{h_b}=\dfrac{ch_c}{16}\\\\\boxed{\boldsymbol{a=\dfrac{ch_c}{10}}}\ \ \ \boxed{\boldsymbol{b=\dfrac{ch_c}{16}}}$

Стороны треугольника обратно пропорциональны высотам, проведённым к этим сторонам. Значит:

$h_c>h_b>h_a\ \ \ \Rightarrow \ \ \ c$.

Неравенство треугольника: большая сторона треугольника меньше суммы двух меньших сторон:

$a$

Так как нужно выбрать наибольшую целочисленную длину высоты, то:

$h=26$

Ответ: 26.

Answer 2

Для определения максимальной целочисленной длины третьей высоты треугольника, учитывая, что две другие высоты равны 10 и 16, можно воспользоваться формулой для площади треугольника:

Площадь треугольника = 0.5 * a * h,

где a - длина основания треугольника, а h - соответствующая высота.

Мы знаем, что две другие высоты равны 10 и 16, поэтому допустим, что наибольшая третья высота равна h. Тогда мы можем записать два уравнения на основе площадей треугольников с разными высотами:

Площадь треугольника 1 (с высотой 10) = 0.5 * a * 10, Площадь треугольника 2 (с высотой 16) = 0.5 * a * 16.

Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять эти две площади:

0.5 * a * 10 = 0.5 * a * 16.

Теперь мы можем сократить обе стороны уравнения на 0.5:

a * 10 = a * 16.

Далее, вычитаем a * 10 из обеих сторон:

0 = a * 16 - a * 10.

Факторизуем a из правой стороны:

0 = a * (16 - 10).

Теперь у нас есть:

0 = a * 6.

Чтобы найти значение a (длину основания), мы можем разделить обе стороны на 6:

a = 0 / 6.

Таким образом, длина основания треугольника равна 0. Однако треугольник с нулевой длиной основания является вырожденным треугольником и не существует на практике.

Следовательно, невозможно построить треугольник, в котором две из трех высот равны 10 и 16, и третья высота целочисленной длины.