Question

Вычислить производную функции y=x разделить на sinx x

Answer 1

Ответ:

$y' = (\frac{x}{ \sin(x) } )' = \frac{x' \times \sin(x) - ( \sin(x) )' \times x }{ { \sin(x) }^{2} } = \frac{ \sin(x) - x \cos(x) }{ { \sin(x) }^{2} }$

Answer 2

Для вычисления производной функции $y = \frac{x}{\sin(x)}$ по переменной $x$, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования частного. Это правило гласит, что производная частного двух функций $u(x)$ и $v(x)$ равна:

$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

В данном случае $u(x) = x$, а $v(x) = \sin(x)$. Вычислим производные:

$u'(x) = 1$ (производная $x$ по $x$), $v'(x) = \cos(x)$ (производная $\sin(x)$ по $x$).

Теперь подставим эти значения в формулу:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sin(x)}\right) = \frac{1 \cdot \sin(x) - x \cdot \cos(x)}{[\sin(x)]^2}$.

Таким образом, производная функции $y = \frac{x}{\sin(x)}$ по переменной $x$ равна:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sin(x)}\right) = \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{\sin^2(x)}$.

Это и есть искомая производная функции.